Résolution d’exemples complexes
Exercices corrigés

En projection sur les axes (x,y) :

• \(L_1\cos\theta_1 + L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 + L_4\cos\theta_4 = 0\)
• \(L_1\sin\theta_1 + L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 + L_4\sin\theta_4 = 0\)

On connaît θ₁, il faut trouver θ₂ et θ₃ :

• Utilisation de substitutions trigonométriques
• Résolution du système non-linéaire
• Obtention des deux solutions possibles

Dérivation temporelle de l'équation de fermeture :

• \(-L_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1 - L_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2 - L_3\dot{\theta}_3\sin\theta_3 = 0\)
• \(L_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1 + L_2\dot{\theta}_2\cos\theta_2 + L_3\dot{\theta}_3\cos\theta_3 = 0\)

Système linéaire de deux équations à deux inconnues :

• \(\begin{pmatrix} -L_2\sin\theta_2 & -L_3\sin\theta_3 \\ L_2\cos\theta_2 & L_3\cos\theta_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\theta}_2 \\ \dot{\theta}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1 \\ -L_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1 \end{pmatrix}\)

Le triangle de Ackermann impose des contraintes :

• Le point de croisement des axes de pivot des roues doit être sur l'axe arrière
• Angle de braquage différent pour chaque roue
• \(\cot\delta_d = \cot\delta_g + \frac{W}{L}\)

Pour chaque côté du mécanisme :

• \(\vec{r}_{P_1} + \vec{r}_{P_2/P_1} + \vec{r}_{P_3/P_2} + \vec{r}_{P_4/P_3} = \vec{r}_{P_4}\)
• Où P₁ est le pivot de direction et P₄ la roue

Appliquer la loi de composition des vitesses :

• \(\vec{v}_{P_2} = \vec{v}_{P_1} + \vec{\Omega}_1 \wedge \vec{P_1P_2}\)
• \(\vec{v}_{P_3} = \vec{v}_{P_2} + \vec{\Omega}_2 \wedge \vec{P_2P_3}\)

Vérifier la condition d'alignement des centres de rotation :

• Les axes des pivots doivent se croiser au centre de virage
• Les angles doivent satisfaire la loi d'Ackermann

Notation des vitesses angulaires :

• \(\omega_c\) : pignon central
• \(\omega_s\) : satellites
• \(\omega_p\) : porte-satellite
• \(\omega_{cr}\) : couronne (si présente)

Imposer un mouvement de blocage au porte-satellite :

• \(\frac{\omega_c - \omega_p}{\omega_{cr} - \omega_p} = \pm \frac{Z_{cr}}{Z_c}\)
• Où Z représente les nombres de dents

Entre les vitesses des différents éléments :

• \(\omega_s = \frac{R_c\omega_c + R_p\omega_p}{R_c + R_s}\)
• Avec R les rayons primitifs

En fonctionnement normal (couronne fixe) :

• \(r = \frac{\omega_s}{\omega_e} = \frac{Z_c}{Z_c + Z_{cr}}\)
• Où \(\omega_e\) est la vitesse d'entrée

Considérer les forces transmises :

• \(\vec{F}_{contact} = \mu \cdot \vec{N}\)
• \(\vec{M}_{résistant} = \vec{r} \wedge \vec{F}_{contact}\)

Simplification du système à des articulations pivot :

• Bras triangulaires avec articulations sphériques
• Tige de suspension avec liaison pivot-glissant
• Barre de stabilisation avec liaison pivot

Calcul de la mobilité du système :

• \(m = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{L} c_i + h\)
• \(n\) : nombre de solides, \(c_i\) : degrés de liaison
• \(h\) : hyperstatisme

Calcul des paramètres articulaires à partir de la position souhaitée :

• \(\vec{P}_{roue} = f(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n)\)
• Résolution du système non-linéaire

Les bras doivent respecter les longueurs constantes :

• \(||\vec{AB}|| = L_{constante}\)
• \(||\vec{BC}|| = L_{constante}\)

Appliquer la loi de composition des vitesses :

• \(\vec{v}_{roue} = \vec{v}_{pivot} + \vec{\Omega}_{bras} \wedge \vec{pivot-roue}\)

Attribution systématique des repères :

• L'axe \(z_i\) suit l'axe de l'articulation i
• L'axe \(x_i\) perpendiculaire à \(z_{i-1}\) et \(z_i\)
• Origine au point d'intersection des perpendiculaires

Pour chaque articulation i :

• \(T_i^{i-1} = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i\cos\alpha_i & \sin\theta_i\sin\alpha_i & a_i\cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i\cos\alpha_i & -\cos\theta_i\sin\alpha_i & a_i\sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Calcul de la position de l'effecteur :

• \(T_6^0 = T_1^0 \cdot T_2^1 \cdot T_3^2 \cdot T_4^3 \cdot T_5^4 \cdot T_6^5\)
• \(\vec{P}_{effecteur} = f(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_6)\)

Calcul des angles à partir de la position souhaitée :

• \(\vec{\theta} = f^{-1}(\vec{P}_{souhaité})\)
• Résolution analytique ou numérique

Relation entre vitesses articulaires et vitesses opérationnelles :

• \(\begin{bmatrix} \vec{v} \\ \vec{\omega} \end{bmatrix} = J(\vec{\theta}) \cdot \dot{\vec{\theta}}\)
• \(J = \frac{\partial f}{\partial \vec{\theta}}\)