Résolution d'Exemples Complexes | des Systèmes Mécaniques

Un exemple complexe en cinématique des systèmes mécaniques est un problème qui :

• Implique plusieurs solides en mouvement
• Présente des interactions multiples entre les composants
• Nécessite l'application de plusieurs principes cinématiques
• Peut impliquer des mouvements dans plusieurs directions

1. 1 Analyser le système : identifier les solides, les liaisons et les paramètres cinématiques
2. 2 Établir un modèle cinématique simplifié
3. 3 Déterminer la mobilité du système
4. 4 Appliquer les principes de base de la cinématique
5. 5 Résoudre le problème étape par étape
6. 6 Vérifier la cohérence des résultats

Le système bielle-manivelle est composé de :

• Manivelle (OA) : longueur R, tourne autour du point fixe O
• Bielle (AB) : longueur L, relie la manivelle au piston
• Piston (B) : se déplace en translation rectiligne horizontale

Coordonnées du point A : x_A = R.cos(θ), y_A = R.sin(θ)

Position du point B : x_B = x_A + √(L² - y_A²), y_B = 0

Vitesse de A : v_Ax = -R.ω.sin(θ), v_Ay = R.ω.cos(θ)

Relation cinématique : v_B = v_Ax + (v_Ay²)/(√(L² - y_A²))

Données : R = 5 cm, L = 15 cm, θ = 30°, ω = 4 rad/s

Position de A : x_A = R.cos(30°) = 5 × 0.866 = 4.33 cm

y_A = R.sin(30°) = 5 × 0.5 = 2.5 cm

Position de B : x_B = x_A + √(L² - y_A²) = 4.33 + √(225 - 6.25) = 4.33 + √218.75 = 4.33 + 14.79 = 19.12 cm

v_Ax = -R.ω.sin(θ) = -5 × 4 × sin(30°) = -10 cm/s

v_Ay = R.ω.cos(θ) = 5 × 4 × cos(30°) = 17.32 cm/s

La vitesse du point B se déduit de la condition de conservation de la distance AB.

En dérivant AB² = L² par rapport au temps : 2(AB⃗).(v_B⃗ - v_A⃗) = 0

Cela signifie que (v_B⃗ - v_A⃗) est perpendiculaire à AB⃗

Donc : (x_B - x_A)(v_B - v_Ax) + (y_B - y_A)(0 - v_Ay) = 0

(19.12 - 4.33)(v_B - (-10)) + (0 - 2.5)(0 - 17.32) = 0

14.79(v_B + 10) + 2.5 × 17.32 = 0

14.79v_B + 147.9 + 43.3 = 0

v_B = -191.2/14.79 = -12.93 cm/s

Un système de transmission à courroie est composé de :

• Poulie motrice (rayon R₁) : entraînée par un moteur
• Poulie réceptrice (rayon R₂) : entraînée par la courroie
• Courroie : assure la transmission du mouvement sans glissement

La condition de non-glissement impose que la vitesse linéaire de la courroie est la même en tout point.

Donc : v₁ = v₂ où v₁ et v₂ sont les vitesses linéaires des points de contact.

Pour chaque poulie : v = ω × R

Donc : ω₁ × R₁ = ω₂ × R₂

Soit : ω₂ = (R₁/R₂) × ω₁

Vitesse linéaire de la poulie motrice : v₁ = ω₁ × R₁

v₁ = 10 × 8 = 80 cm/s

Vitesse linéaire de la poulie réceptrice : v₂ = ω₂ × R₂

Pour que la courroie ne glisse pas : v₁ = v₂

Donc : ω₁ × R₁ = ω₂ × R₂

ω₂ = (R₁/R₂) × ω₁

ω₂ = (8/12) × 10 = (2/3) × 10 = 6.67 rad/s

Dans une transmission par courroie droite, les deux poulies tournent dans le même sens.

Donc ω₂ > 0 (même sens que ω₁).

Un bras manipulateur plan à 2 degrés de liberté composé de :

• Segment 1 (O-A) : longueur L₁ = 30 cm, angle θ₁
• Segment 2 (A-B) : longueur L₂ = 20 cm, angle θ₂
• Point terminal B (extrémité du bras)

On connaît la position finale et on cherche les angles.

Équations cinématiques directes :

x = L₁.cos(θ₁) + L₂.cos(θ₁ + θ₂)

y = L₁.sin(θ₁) + L₂.sin(θ₁ + θ₂)

On résout ce système d'équations pour trouver θ₁ et θ₂.

On part des équations cinématiques directes :

x = L₁.cos(θ₁) + L₂.cos(θ₁ + θ₂)

y = L₁.sin(θ₁) + L₂.sin(θ₁ + θ₂)

Avec : x = 40 cm, y = 25 cm, L₁ = 30 cm, L₂ = 20 cm

On pose : d² = x² + y²

Et : cos(θ₂) = (d² - L₁² - L₂²)/(2·L₁·L₂)

Pour notre exemple : d² = 40² + 25² = 1600 + 625 = 2225

cos(θ₂) = (2225 - 900 - 400)/1200 = 925/1200 = 0.771

Donc : θ₂ = arccos(0.771) = 39.5°

On utilise : x = L₁.cos(θ₁) + L₂.cos(θ₁)cos(θ₂) - L₂.sin(θ₁)sin(θ₂)

y = L₁.sin(θ₁) + L₂.sin(θ₁)cos(θ₂) + L₂.cos(θ₁)sin(θ₂)

En posant : K₁ = L₁ + L₂·cos(θ₂) et K₂ = L₂·sin(θ₂)

On obtient : x = K₁·cos(θ₁) - K₂·sin(θ₁) et y = K₁·sin(θ₁) + K₂·cos(θ₁)

K₁ = 30 + 20·cos(39.5°) = 30 + 20·0.771 = 30 + 15.42 = 45.42

K₂ = 20·sin(39.5°) = 20·0.637 = 12.74

tan(θ₁) = (y·K₁ + x·K₂)/(x·K₁ - y·K₂)

tan(θ₁) = (25·45.42 + 40·12.74)/(40·45.42 - 25·12.74) = (1135.5 + 509.6)/(1816.8 - 318.5) = 1645.1/1498.3 = 1.098

θ₁ = arctan(1.098) = 47.7°

Un système à 4 barres est composé de :

• Barre 1 (bâti) : fixe, longueur L₁
• Barre 2 (manivelle) : mobile, longueur L₂, angle θ₂
• Barre 3 (bielle) : mobile, longueur L₃, angle θ₃
• Barre 4 (balancier) : mobile, longueur L₄, angle θ₄

Le système à 4 barres forme une chaîne cinématique fermée.

Les équations de fermeture sont :

L₂·cos(θ₂) + L₃·cos(θ₃) = L₁ + L₄·cos(θ₄)

L₂·sin(θ₂) + L₃·sin(θ₃) = L₄·sin(θ₄)

On résout ce système non-linéaire pour trouver θ₃ et θ₄.

Données : L₁ = 50 cm, L₂ = 20 cm, L₃ = 60 cm, L₄ = 40 cm, θ₂ = 60°

cos(60°) = 0.5, sin(60°) = 0.866

Équation 1 : L₂·cos(θ₂) + L₃·cos(θ₃) = L₁ + L₄·cos(θ₄)

20×0.5 + 60·cos(θ₃) = 50 + 40·cos(θ₄)

10 + 60·cos(θ₃) = 50 + 40·cos(θ₄)

60·cos(θ₃) - 40·cos(θ₄) = 40 ... (1)

Équation 2 : L₂·sin(θ₂) + L₃·sin(θ₃) = L₄·sin(θ₄)

20×0.866 + 60·sin(θ₃) = 40·sin(θ₄)

17.32 + 60·sin(θ₃) = 40·sin(θ₄)

60·sin(θ₃) - 40·sin(θ₄) = -17.32 ... (2)

Des équations (1) et (2), on peut exprimer cos(θ₄) et sin(θ₄) en fonction de θ₃.

De (1) : cos(θ₄) = (60·cos(θ₃) - 40)/40 = 1.5·cos(θ₃) - 1

De (2) : sin(θ₄) = (60·sin(θ₃) + 17.32)/40 = 1.5·sin(θ₃) + 0.433

Utilisation de l'identité : cos²(θ₄) + sin²(θ₄) = 1

[1.5·cos(θ₃) - 1]² + [1.5·sin(θ₃) + 0.433]² = 1

2.25·cos²(θ₃) - 3·cos(θ₃) + 1 + 2.25·sin²(θ₃) + 1.3·sin(θ₃) + 0.187 = 1

2.25[cos²(θ₃) + sin²(θ₃)] - 3·cos(θ₃) + 1.3·sin(θ₃) + 1.187 = 1

2.25 - 3·cos(θ₃) + 1.3·sin(θ₃) + 1.187 = 1

-3·cos(θ₃) + 1.3·sin(θ₃) = -2.437 ... (3)

L'équation (3) est de la forme a·cos(θ₃) + b·sin(θ₃) = c

Avec a = -3, b = 1.3, c = -2.437

On pose : R = √(a² + b²) = √(9 + 1.69) = √10.69 = 3.27

cos(φ) = a/R = -3/3.27 = -0.917

sin(φ) = b/R = 1.3/3.27 = 0.398

Donc φ = arctan(b/a) + π = arctan(1.3/-3) + π = 2.72 rad = 156°

cos(θ₃ - φ) = c/R = -2.437/3.27 = -0.745

θ₃ - 156° = ±138.2°

Donc θ₃ = 156° ± 138.2°

Les solutions sont : θ₃ = 294.2° ou θ₃ = 17.8°

Utilisation des nombres complexes pour représenter les rotations :

z = r·e^(iθ) = r·(cos θ + i·sin θ)

Très utile pour les systèmes à plusieurs boucles cinématiques.

Utilisation des matrices de transformation homogène pour :

• Représenter les transformations entre repères
• Calculer les positions relatives
• Effectuer les changements de base

Pour résoudre les systèmes non-linéaires complexes :

x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n)·F(x_n)

Où J est la matrice jacobienne et F le vecteur des fonctions.

Pour suivre les solutions d'un système en fonction d'un paramètre.

Particulièrement utile pour les systèmes avec des points singuliers.

Ne pas confondre les repères fixes et mobiles.

Toujours préciser dans quel repère sont exprimés les vecteurs.

Ne pas oublier les équations de fermeture des chaînes cinématiques.

Chaque liaison impose des contraintes cinématiques.

Faire attention aux conventions de signe pour les angles et les vitesses.

Un angle positif peut correspondre à une rotation dans un sens ou l'autre selon la convention.

• 1 Faire un schéma clair avec toutes les grandeurs
• 2 Identifier les inconnues et les données
• 3 Écrire toutes les équations avant de résoudre
• 4 Vérifier la cohérence des unités
• 5 Interpréter physiquement les résultats

Utiliser des cas particuliers pour valider les formules.

Vérifier que les vitesses sont compatibles avec les liaisons.

S'assurer que les directions des vecteurs sont physiquement réalistes.

• 1 La cinématique étudie les mouvements sans considérer les forces
• 2 Les vecteurs vitesse et accélération décrivent le mouvement
• 3 Les liaisons imposent des contraintes cinématiques

• 1 Identifier les solides et leurs mouvements
• 2 Établir les équations de liaison
• 3 Appliquer les principes de composition des vitesses

• 1 Système bielle-manivelle
• 2 Transmission par courroie
• 3 Bras manipulateur
• 4 Système à 4 barres