Modélisation multi‑composants
Exercices corrigés

Le système bielle-manivelle est constitué de 3 solides :

• Solide 1 (manivelle) : tourne autour d'un axe fixe
• Solide 2 (bielle) : relie la manivelle au piston
• Solide 3 (piston) : se translate linéairement

Chaque liaison limite certains mouvements :

• Liaison pivot entre 0 et 1 : rotation autour de l'axe Oz
• Liaison pivot entre 1 et 2 : rotation autour de l'axe perpendiculaire au plan
• Liaison pivot-glissant entre 2 et 3 : translation et rotation

Variables angulaires et linéaires :

• \(\theta_1\) : angle de la manivelle par rapport à Ox
• \(\theta_2\) : angle de la bielle par rapport à Ox
• \(x_3\) : position du piston sur l'axe Ox

Le vérin hydraulique comporte deux parties principales :

• Le corps (fixe ou mobile) qui contient le fluide
• La tige qui sort/rentre du corps

La liaison pivot-glissant autorise :

• Translation selon l'axe du vérin
• Rotation autour de l'axe (souvent bloquée)

Soit \(L(t)\) la longueur variable du vérin :

• Vitesse de sortie de la tige : \(\dot{L}(t)\)
• Accélération correspondante : \(\ddot{L}(t)\)

Un bras manipulateur typique comporte :

• Base fixe (solide 0)
• n segments (solides 1 à n)
• n articulations (liaisons pivot)

Chaque articulation i est caractérisée par :

• \(\theta_i\) : angle de rotation (articulation rotoïde)
• \(d_i\) : déplacement linéaire (articulation prismatique)

La position de l'effecteur dépend des n paramètres articulaires :

• \(\vec{OP} = f(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n)\)
• Modèle direct : \(\vec{q} \rightarrow \vec{P}\)

Pour chaque liaison i, matrice de transformation :

• \(T_i^{i-1} = T_{trans}(x_i, y_i, z_i) \cdot T_{rot}(R_i^{i-1})\)
• Transformation totale : \(T_n^0 = T_1^0 \cdot T_2^1 \cdot ... \cdot T_n^{n-1}\)

La suspension doit permettre :

• Le maintien du contact pneu-route
• L'absorption des vibrations
• La limitation des mouvements parasites

Exemple d'une suspension MacPherson :

• Bras inférieur : liaison pivot avec le châssis
• Tube télescopique : liaison pivot-glissant
• Triangle supérieur : liaison sphérique

Calcul de la mobilité :

• \(m = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{L} c_i + h\)
• \(n\) : nombre de solides, \(c_i\) : degrés de liaison
• \(h\) : hyperstatisme du mécanisme

Paramètres de positionnement :

• \(z\) : hauteur de la roue par rapport au châssis
• \(\alpha, \beta, \gamma\) : angles de carrossage, d'attitude, de convergence

Relations entre angles articulaires et position/orientation de l'effecteur :

• \(\vec{P} = f(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_6)\)
• Matrice homogène : \(T_6^0 = f(\vec{\theta})\)

Attribution des repères selon les règles :

• L'axe \(z_i\) suit l'axe de l'articulation i
• L'axe \(x_i\) perpendiculaire à \(z_{i-1}\) et \(z_i\)
• Origine au point d'intersection des perpendiculaires

Pour chaque articulation i :

• \(a_i\) : distance entre \(z_{i-1}\) et \(z_i\) le long de \(x_i\)
• \(\alpha_i\) : angle entre \(z_{i-1}\) et \(z_i\) autour de \(x_i\)
• \(d_i\) : distance entre \(x_{i-1}\) et \(x_i\) le long de \(z_i\)
• \(\theta_i\) : angle entre \(x_{i-1}\) et \(x_i\) autour de \(z_i\)

Calcul des angles articulaires à partir de la position souhaitée :

• \(\vec{\theta} = f^{-1}(\vec{P})\)
• Souvent résolu par des méthodes analytiques ou numériques

Relation entre vitesses articulaires et vitesses opérationnelles :

• \(\begin{bmatrix} \vec{v} \\ \vec{\omega} \end{bmatrix} = J(\vec{\theta}) \cdot \dot{\vec{\theta}}\)
• Jacobien : \(J = \frac{\partial f}{\partial \vec{\theta}}\)