Chaîne ouverte : Système où les solides sont disposés en série sans boucle cinématique. Le dernier solide est mobile par rapport au premier.
- Identifier les solides mobiles (n)
- Compter les liaisons (l)
- Déterminer le nombre de degrés de liaison (l_i)
- Appliquer les formules de mobilité
Un bras manipulateur est constitué de 4 solides mobiles (bras, avant-bras, poignet, outil) liés par 4 liaisons pivot. Calculer le degré d'hyperstatisme.
Nombre de solides mobiles : n = 4
Nombre de liaisons : l = 4 (pivot)
Chaque liaison pivot a : l_i = 5 degrés de liaison
\(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{l} l_i\)
\(h = 6(4-1) - 4 \times 5 = 6 \times 3 - 20 = 18 - 20 = -2\)
h = -2 < 0, donc le système est hypostatique
Il est mobile avec |h| = 2 degrés de mobilité supplémentaires
\(m = 6(n-1) - h = 6 \times 3 - (-2) = 18 + 2 = 20\)
Non réaliste pour un bras manipulateur (erreur dans le modèle)
En réalité, un bras manipulateur à 4 degrés de liberté (m = 4)
\(h = 6(n-1) - m = 6 \times 3 - 4 = 18 - 4 = 14\)
Le bras manipulateur est hyperstatique de degré h = 14.
• Chaîne ouverte : n liaisons, n+1 solides
• Hyperstatisme : h = 6(n-1) - Σl_i
• Correction : Tenir compte des degrés de liberté réels
Chaîne fermée : Système où les solides forment une boucle cinématique. Le nombre de solides égale le nombre de liaisons.
Un pédalier de vélo est constitué de 3 solides (cadre, pédalier, bielle) liés par 3 liaisons pivot. Analyser la structure.
Nombre de solides mobiles : n = 2 (pédalier, bielle)
Le cadre est fixe (solide de référence)
Nombre de liaisons : l = 3 (pivot)
Chaque liaison pivot a : l_i = 5 degrés de liaison
\(h = 6(n-1) - \sum_{i=1}^{l} l_i\)
\(h = 6(2-1) - 3 \times 5 = 6 \times 1 - 15 = 6 - 15 = -9\)
h = -9 < 0, donc le système est hypostatique
Le mécanisme est instable sans contraintes externes
En réalité, le pédalier a 1 degré de liberté (m = 1)
\(h = 6(n-1) - m = 6 \times 1 - 1 = 5\)
Le pédalier permet une rotation unique du pédalier
La bielle transmet le mouvement à la roue
Le pédalier de vélo est hyperstatique de degré h = 5 avec m = 1.
• Chaîne fermée : Boucle cinématique
• Contraintes : Le solide fixe ne compte pas dans n
• Fonctionnement : Le degré de liberté réel détermine h
Bielle-manivelle : Mécanisme à 4 solides formant une chaîne fermée avec 4 liaisons pivot. Convertit rotation en translation.
Un système bielle-manivelle comprend : cadre fixe, manivelle, bielle, piston. Les liaisons sont : pivot (manivelle-cadre), pivot (bielle-manivelle), pivot (bielle-piston), linéaire rectiligne (piston-cadre). Calculer m et h.
n = 3 (manivelle, bielle, piston)
Cadre est fixe (référence)
l = 4 liaisons :
1. Pivot (manivelle-cadre) : l₁ = 5
2. Pivot (bielle-manivelle) : l₂ = 5
3. Pivot (bielle-piston) : l₃ = 5
4. Linéaire rectiligne (piston-cadre) : l₄ = 4
\(\sum l_i = 5 + 5 + 5 + 4 = 19\)
\(h = 6(n-1) - \sum l_i = 6(3-1) - 19 = 6 \times 2 - 19 = 12 - 19 = -7\)
En réalité, le système a m = 1 degré de liberté (rotation de la manivelle)
\(h = 6(n-1) - m = 6 \times 2 - 1 = 12 - 1 = 11\)
1 degré de liberté : rotation de la manivelle
Le piston effectue un mouvement de translation alternatif
Le système bielle-manivelle a m = 1 et h = 11.
• Bielle-manivelle : 4 solides en chaîne fermée
• Fonction : Conversion rotation ↔ translation
• Degré de liberté : 1 (souvent)
Système complexe : Mécanisme avec plusieurs boucles cinématiques indépendantes. Le nombre de boucles indépendantes est égal à l-n+1.
Un mécanisme est constitué de 5 solides mobiles et 7 liaisons. Parmi les liaisons, 2 sont des pivots (l=5), 3 sont des linéaires rectilignes (l=4), et 2 sont des sphériques (l=3). Calculer le degré d'hyperstatisme.
Nombre de solides mobiles : n = 5
Nombre de liaisons : l = 7
Pivots : 2 × 5 = 10
Linéaires rectilignes : 3 × 4 = 12
Sphériques : 2 × 3 = 6
Total : 10 + 12 + 6 = 28
\(h = 6(n-1) - \sum l_i = 6(5-1) - 28 = 6 \times 4 - 28 = 24 - 28 = -4\)
Nombre de boucles indépendantes = l - n + 1 = 7 - 5 + 1 = 3
Supposons que le mécanisme ait m = 2 degrés de liberté
\(h = 6(n-1) - m = 6 \times 4 - 2 = 24 - 2 = 22\)
Le système a 3 boucles cinématiques indépendantes
Chaque boucle impose des contraintes cinématiques
Le mécanisme complexe a un hyperstatisme h = 22 s'il a 2 degrés de liberté.
• Boucles indépendantes : l - n + 1
• Complexité : Plusieurs boucles augmentent les contraintes
• Hyperstatisme : Dépend du degré de liberté réel
Treillis hyperstatique : Structure composée de barres articulées en nœuds. Le degré d'hyperstatisme est égal au nombre d'inconnues de liaison moins le nombre d'équations d'équilibre.
Un treillis plan est constitué de 6 nœuds et 9 barres articulées. Chaque articulation est modélisée par une liaison sphérique. Calculer le degré d'hyperstatisme du treillis.
Chaque barre est un solide
Chaque articulation est une liaison sphérique
Nombre de barres (solides mobiles) : n = 9
Nombre de nœuds (liaisons) : l = 6
En réalité, les barres sont liées entre elles
Si on considère les barres comme des solides et les articulations comme des liaisons sphériques
Chaque liaison sphérique a l = 3 degrés de liaison
Pour un treillis plan, on peut utiliser une formule spécifique
Nombre de degrés de liberté : m = 2N - 3 - 2B
Où N = nombre de nœuds, B = nombre de barres
m = 2×6 - 3 - 2×9 = 12 - 3 - 18 = -9
Pour un treillis plan : h = 3 + 2B - 2N
h = 3 + 2×9 - 2×6 = 3 + 18 - 12 = 9
Un treillis avec 9 barres et 6 nœuds est hyperstatique de degré 9-6 = 3
Plus généralement : h = B - (2N - 3) = 9 - (2×6 - 3) = 9 - 9 = 0
Erreur dans le calcul précédent
Pour un treillis plan isostatique : B = 2N - 3
Ici : 2×6 - 3 = 9
Le treillis a exactement 9 barres pour 6 nœuds : il est isostatique (h = 0)
Le treillis est isostatique avec h = 0 et m = 0.
• Treillis plan : B = 2N - 3 pour être isostatique
• Hyperstatisme : h = B - (2N - 3)
• Stabilité : h ≥ 0 pour assurer la stabilité
- Chaîne ouverte : n liaisons, n+1 solides
- Chaîne fermée simple : n liaisons, n solides
- Chaîne complexe : Plusieurs boucles indépendantes
- Structure hyperstatique : h > 0
- Structure isostatique : h = 0
- Structure hypostatique : h < 0
- Un solide libre dans l'espace a 6 degrés de liberté
- La mobilité est le nombre de degrés de liberté du mécanisme
- L'hyperstatisme mesure le degré de sur-contrainte
- h = 0 correspond à un système isostatique (équilibré)
- h > 0 correspond à un système hyperstatique (sur-contraint)
- h < 0 correspond à un système hypostatique (mobile)
