Modélisation Multi-Composants | des Systèmes Mécaniques
Résumé détaillé
Découvrez les fondements de la cinématique des systèmes mécaniques
Pays: France
Niveau: 1ère
Matière: Sciences de l'ingénieur
Chapitre: du point et des systèmes
Sous-chapitre: des systèmes mécaniques
Section: Modélisation multi-composants
Introduction à la modélisation multi-composants
Définition et objectifs
La modélisation multi-composants en cinématique des systèmes mécaniques consiste à représenter un mécanisme complexe comme un ensemble de pièces simples (ou composants) interconnectées par des liaisons cinématiques.
Cette approche permet de simplifier l'étude du mouvement en se concentrant sur les relations entre les différentes parties du système.
- 1 Analyser les mouvements relatifs entre les composants
- 2 Identifier les paramètres cinématiques (positions, vitesses, accélérations)
- 3 Prédire le comportement cinématique du système
- 4 Optimiser la conception des mécanismes
Représentation schématique d'un système multi-composants
Composants d'un système mécanique
Classification des composants
Les solides rigides sont des corps dont la forme reste inchangée pendant le mouvement. Ils constituent les éléments de base d'un mécanisme.
Exemples : bielles, manivelles, pistons, bras articulés.
Les liaisons cinématiques sont des contraintes qui limitent les mouvements relatifs entre deux solides.
Elles peuvent être parfaites (sans frottement) ou réelles (avec frottement).
Les paramètres cinématiques décrivent la position, la vitesse et l'accélération des composants.
Ils incluent les coordonnées de position, les angles de rotation, les vecteurs vitesse et accélération.
Exemples de composants mécaniques
Liaisons cinématiques
Types de liaisons
Permet une rotation autour d'un axe fixe. Elle supprime 5 degrés de liberté.
Exemple : articulation d'un bras robotisé, axe de roue.
Permet un déplacement linéaire selon un axe. Elle supprime 5 degrés de liberté.
Exemple : piston dans un cylindre, tige de vérin.
Permet des rotations libres autour d'un point. Elle supprime 3 degrés de liberté.
Exemple : rotule de suspension, articulation humaine.
Représentation des liaisons cinématiques
Représentation graphique des systèmes
Schémas cinématiques
Les schémas cinématiques utilisent des symboles normalisés pour représenter les liaisons et les solides.
Ces symboles permettent une lecture universelle des mécanismes.
Le schéma cinématique met en évidence les liaisons et les degrés de liberté sans tenir compte des dimensions réelles.
Il facilite l'analyse du mouvement et la détermination des vitesses.
Exemple de schéma cinématique - Système bielle-manivelle
Degrés de liberté et mobilité
Analyse des mouvements
Le nombre de degrés de liberté d'un solide dans l'espace est de 6 (3 translations + 3 rotations).
Chaque liaison supprime un ou plusieurs degrés de liberté.
La mobilité correspond au nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire complètement le mouvement du mécanisme.
Où : n = nombre de solides, l = nombre de liaisons, c_i = nombre de degrés de liberté supprimés par la liaison i
Système bielle-manivelle : 4 solides (bâti, manivelle, bielle, piston) reliés par 4 liaisons pivot et 1 liaison glissière.
Calcul de la mobilité : m = 6(4-1) - (4×5 + 1×5) = 18 - 25 = -7
Ce système est hyperstatique (m < 0), ce qui est cohérent avec sa structure rigide.
Exercice 1 : Système à 4 barres
Analyse d'un mécanisme à 4 barres
Soit un mécanisme à 4 barres constitué :
- Barre 1 (bâti) fixe
- Barre 2 (manivelle) : liaison pivot avec le bâti
- Barre 3 (bielle) : liaison pivot avec la manivelle et le balancier
- Barre 4 (balancier) : liaison pivot avec le bâti et la bielle
Déterminer la mobilité de ce mécanisme.
Données : n = 4 solides (1 bâti + 3 mobiles), l = 4 liaisons pivot
Chaque liaison pivot supprime 5 degrés de liberté (reste 1 DDL)
Calcul de la mobilité : m = 6(n-1) - Σc_i = 6(4-1) - 4×5 = 18 - 20 = -2
Ce système est donc hyperstatique de degré 2.
En réalité, dans un mécanisme à 4 barres plan, on utilise la formule simplifiée : m = 3(n-1) - 2p_1 - p_2
Avec p_1 = nombre de liaisons à 1 degré de liberté (ici 4), p_2 = nombre de liaisons à 2 degrés de liberté (ici 0)
m = 3(4-1) - 2×4 - 0 = 9 - 8 = 1
Le mécanisme a donc 1 degré de liberté : il suffit de connaître la position d'un seul solide pour déterminer la position de tous les autres.
Vitesses dans les systèmes multi-composants
Analyse cinématique
La vitesse d'un point d'un solide en mouvement est obtenue par la loi de distribution des vitesses.
Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe : \( \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \)
Où \( \vec{\omega} \) est le vecteur vitesse angulaire et \( \vec{r} \) est le vecteur position.
Lorsqu'un point appartient à plusieurs solides en mouvement, sa vitesse absolue est la somme vectorielle de sa vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.
Exemple : vitesse d'un point sur une bielle
Accélérations dans les systèmes multi-composants
Analyse dynamique
L'accélération d'un point d'un solide en mouvement se décompose en une accélération normale et une accélération tangentielle.
Pour un solide en rotation uniforme : \( \vec{a} = \vec{a}_n + \vec{a}_t \)
Avec : \( \vec{a}_n = -\omega^2 \vec{r} \) (accélération normale) et \( \vec{a}_t = \alpha \times \vec{r} \) (accélération tangentielle)
L'accélération absolue d'un point est la somme de son accélération relative, de l'accélération d'entraînement et de l'accélération de Coriolis.
Considérons un point M en mouvement circulaire de rayon R avec une vitesse angulaire ω constante.
L'accélération normale vaut : a_n = ω²R dirigée vers le centre du cercle
L'accélération tangentielle est nulle : a_t = 0
L'accélération totale est donc purement normale et centripète.
Exercice 2 : Analyse cinématique d'un bras robotisé
Bras robotisé à 2 axes
Un bras robotisé plan est constitué de deux segments :
- Segment 1 : longueur L₁ = 50 cm, articulation pivot O avec le bâti
- Segment 2 : longueur L₂ = 40 cm, articulation pivot A avec le segment 1
À un instant donné : θ₁ = 30°, θ₂ = 45°, ω₁ = 2 rad/s, ω₂ = 1 rad/s
Déterminer la vitesse du point B (extrémité du bras).
Coordonnées des points :
Point A : x_A = L₁ cos(θ₁) = 50 × cos(30°) = 43.3 cm
y_A = L₁ sin(θ₁) = 50 × sin(30°) = 25 cm
Point B : x_B = x_A + L₂ cos(θ₁ + θ₂) = 43.3 + 40 × cos(75°) = 53.6 cm
y_B = y_A + L₂ sin(θ₁ + θ₂) = 25 + 40 × sin(75°) = 63.6 cm
Vitesse du point A :
v_Ax = -L₁ ω₁ sin(θ₁) = -50 × 2 × sin(30°) = -50 cm/s
v_Ay = L₁ ω₁ cos(θ₁) = 50 × 2 × cos(30°) = 86.6 cm/s
Vitesse relative du point B par rapport à A :
v_rel_x = -L₂ (ω₁ + ω₂) sin(θ₁ + θ₂) = -40 × 3 × sin(75°) = -115.9 cm/s
v_rel_y = L₂ (ω₁ + ω₂) cos(θ₁ + θ₂) = 40 × 3 × cos(75°) = 31.1 cm/s
Vitesse absolue du point B :
v_Bx = v_Ax + v_rel_x = -50 + (-115.9) = -165.9 cm/s
v_By = v_Ay + v_rel_y = 86.6 + 31.1 = 117.7 cm/s
Vitesse totale : ||v_B|| = √(v_Bx² + v_By²) = √(165.9² + 117.7²) = 203.4 cm/s
Analyse des chaînes cinématiques
Structure des mécanismes
Une chaîne cinématique est ouverte si elle ne contient pas de boucle fermée.
Exemple : bras manipulateur, pince robotisée.
Caractéristiques : chaque solide a une fonction bien définie, le mouvement se propage de proche en proche.
Une chaîne cinématique est fermée si elle contient au moins une boucle.
Exemple : système bielle-manivelle, mécanisme à 4 barres.
Caractéristiques : existence de relations cinématiques entre les mouvements des différentes parties.
Un mécanisme est isostatique si m = 0 (nombre d'équations égal au nombre d'inconnues).
Un mécanisme est hyperstatique si m < 0 (surabondance de liaisons).
Un mécanisme est instable si m > 0 (manque de liaisons).
Comparaison des structures cinématiques
Exercice 3 : Système de levage
Analyse d'un treuil
Un treuil est constitué d'un tambour de rayon R = 10 cm entraîné par un moteur à vitesse angulaire ω = 5 rad/s.
Un câble enroulé autour du tambour soulève une charge.
Calculer la vitesse de montée de la charge.
Pour un point situé à la périphérie du tambour, la vitesse tangentielle est :
v = ω × R = 5 × 0.1 = 0.5 m/s
Le câble suit le mouvement du point sur la périphérie du tambour.
Donc la vitesse de montée de la charge est égale à la vitesse tangentielle du tambour.
Réponse : La charge monte à une vitesse de 0.5 m/s.
Remarque : Si le diamètre du câble est non négligeable, il faut prendre en compte le rayon effectif d'enroulement qui augmente au fur et à mesure de l'enroulement.
Schéma du système de levage
Synthèse des connaissances
Points clés à retenir
- 1 Un système mécanique est composé de solides reliés par des liaisons
- 2 Les liaisons limitent les mouvements relatifs entre les solides
- 3 Les schémas cinématiques représentent les liaisons et les degrés de liberté
- 1 La mobilité se calcule avec la formule de Grübler
- 2 Les vitesses se composent vectoriellement
- 3 Les accélérations comprennent des termes normaux et tangentiels
- 1 Identifier les solides et les liaisons
- 2 Déterminer la mobilité du système
- 3 Appliquer les lois de composition des mouvements
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences