Propriétés des signaux
Exercices corrigés

L'amplitude est la valeur maximale du signal :

• Pour \(s(t) = 5\sin(2\pi \cdot 100 \cdot t + \frac{\pi}{4})\)
• Amplitude A = 5V (coefficient devant le sinus)

La période est la durée d'un cycle complet :

• \(T = \frac{1}{f}\) où f est la fréquence
• Ici, f = 100Hz, donc T = 1/100 = 0.01s = 10ms

La fréquence est l'inverse de la période :

• \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.01} = 100Hz\)
• On peut aussi la lire directement dans l'équation : f = 100Hz

La phase détermine le décalage temporel :

• \(\phi = \frac{\pi}{4}\) radians = 45°
• Cela signifie un décalage de \(\frac{T}{8} = 1.25ms\)

Pour un signal rectangulaire asymétrique :

• Période T = durée haute + durée basse
• Ici : T = 3ms + 2ms = 5ms
• Valeur haute : 10V pendant 3ms
• Valeur basse : 0V pendant 2ms

Application de la formule :

• \(V_{moy} = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) dt\)
• \(V_{moy} = \frac{1}{5ms} \left[ \int_0^{3ms} 10 dt + \int_{3ms}^{5ms} 0 dt \right]\)
• \(V_{moy} = \frac{1}{5ms} [10 \cdot 3ms + 0] = \frac{30}{5} = 6V\)

Plus généralement :

• \(V_{moy} = V_h \cdot \frac{t_h}{T}\) où \(V_h\) est la valeur haute
• \(V_{moy} = 10V \cdot \frac{3ms}{5ms} = 10V \cdot 0.6 = 6V\)

Si le signal est symétrique (duty cycle 50%) :

• Signal entre -V et +V avec duty cycle 50% → \(V_{moy} = 0\)
• Signal entre 0 et +V avec duty cycle 50% → \(V_{moy} = \frac{V}{2}\)

La valeur efficace correspond à la tension continue qui produirait la même puissance :

• Pour une résistance R : \(P = \frac{V_{eff}^2}{R}\)
• Elle tient compte de toute la forme du signal

Soit un signal triangulaire symétrique entre -A et +A :

• Durant la montée (0 à T/2) : \(s(t) = \frac{2A}{T/2} \cdot t = \frac{4At}{T}\)
• Durant la descente (T/2 à T) : \(s(t) = A - \frac{4A}{T}(t - T/2)\)

Intégration sur une période :

• \(V_{eff}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T [s(t)]^2 dt\)
• \(V_{eff}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_0^{T/2} \left(\frac{4At}{T}\right)^2 dt + \int_{T/2}^T \left(A - \frac{4A}{T}(t - T/2)\right)^2 dt \right]\)
• Après calcul : \(V_{eff} = \frac{A}{\sqrt{3}}\)

Pour un signal triangulaire entre -5V et +5V (A = 5V) :

• \(V_{eff} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{1.732} = 2.89V\)

Quelques valeurs usuelles :

• Sinusoïdal : \(V_{eff} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}}\)
• Rectangulaire : \(V_{eff} = V_{max}\)
• Triangulaire : \(V_{eff} = \frac{V_{max}}{\sqrt{3}}\)

Le signal est composé de deux sinusoïdes :

• Composante 1 : \(3\sin(2\pi \cdot 50 \cdot t)\) - fréquence 50Hz, amplitude 3V
• Composante 2 : \(2\sin(2\pi \cdot 150 \cdot t)\) - fréquence 150Hz, amplitude 2V

La période est le PPCM des périodes individuelles :

• Période composante 1 : \(T_1 = \frac{1}{50} = 20ms\)
• Période composante 2 : \(T_2 = \frac{1}{150} = 6.67ms\)
• Période globale : \(T = \text{PPCM}(20ms, 6.67ms) = 20ms\)

Pour une somme de sinusoïdes de fréquences différentes :

• \(V_{moy} = \frac{1}{T} \int_0^T [s_1(t) + s_2(t)] dt\)
• \(V_{moy} = V_{moy,1} + V_{moy,2} = 0 + 0 = 0V\)

Théorème de Parseval pour des signaux orthogonaux :

• \(V_{eff}^2 = V_{eff,1}^2 + V_{eff,2}^2\)
• \(V_{eff,1} = \frac{3}{\sqrt{2}} = 2.12V\)
• \(V_{eff,2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = 1.41V\)
• \(V_{eff} = \sqrt{(2.12)^2 + (1.41)^2} = \sqrt{4.49 + 1.99} = 2.55V\)

Représentation dans le domaine fréquentiel :

• Deux pics à 50Hz et 150Hz
• Amplitudes respectives : 3V et 2V
• Représentation par transformée de Fourier

Pour des signaux de même amplitude maximale A :

Facteur de crête (crest factor) :

• Sinusoïdal : \(\frac{A}{A/\sqrt{2}} = \sqrt{2} = 1.41\)
• Rectangulaire : \(\frac{A}{A} = 1.00\)
• Triangulaire : \(\frac{A}{A/\sqrt{3}} = \sqrt{3} = 1.73\)

Choix du type de signal en fonction de l'application :

• Sinusoïdal : Transmission d'énergie, tests de fréquence
• Rectangulaire : Logique numérique, commande
• Triangulaire : Génération de rampe, PWM

Les signaux non sinusoïdaux contiennent des harmoniques :

• Sinusoïdal : Une seule fréquence
• Rectangulaire : Harmoniques impaires (1, 3, 5, 7...)
• Triangulaire : Harmoniques impaires décroissantes

Impact sur la qualité du signal :

• Les signaux rectangulaires ont une distorsion harmonique élevée
• Les signaux triangulaires ont moins d'harmoniques
• Les signaux sinusoïdaux n'ont pas d'harmoniques