Liaison pivot : Autorise une rotation autour d'un axe fixe. La vitesse de translation de tout point de contact est nulle.
- Identifier l'axe de rotation
- Écrire la vitesse de rotation
- Écrire la vitesse de translation (nulle pour pivot)
- Former le torseur cinématique
Un arbre tourne dans un palier selon l'axe (O,z) avec une vitesse angulaire ω(t). Déterminer le torseur cinématique de la liaison pivot.
Rotation possible : autour de l'axe (O,z)
Translations bloquées : selon x, y, z
\(\vec{\Omega}_{S_2/S_1} = \omega(t)\vec{z}\)
Seule la rotation autour de z est possible
\(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = \vec{0}\)
Le point A est fixe dans la liaison pivot
\(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega(t)\vec{z} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_A\)
Ce torseur est constant en tout point de l'axe de rotation
Le torseur cinématique de la liaison pivot a une composante de rotation et aucune translation.
• Pivot : Une seule composante de rotation non nulle
• Translation : Nulle pour tous les points de l'axe
• Notation : ω pour vitesse de rotation, V pour vitesse de translation
Liaison glissière : Autorise une translation selon un axe fixe. La vitesse de rotation est nulle.
Un piston se déplace dans un cylindre selon l'axe (O,x) avec une vitesse v(t). Déterminer le torseur cinématique de la liaison glissière.
Translation possible : selon l'axe (O,x)
Rotations bloquées : autour de x, y, z
\(\vec{\Omega}_{S_2/S_1} = \vec{0}\)
Aucune rotation n'est possible
\(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = v(t)\vec{x}\)
Seule la translation selon x est possible
\(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ v(t)\vec{x} \end{Bmatrix}_A\)
Le torseur est constant en tout point : \(\vec{V}_{B \in S_2/S_1} = \vec{V}_{A \in S_2/S_1} = v(t)\vec{x}\)
Le torseur cinématique de la liaison glissière a une composante de translation et aucune rotation.
• Glissière : Une seule composante de translation non nulle
• Rotation : Nulle pour tous les points
• Constante : Le torseur est le même en tout point
Liaison sphérique (rotule) : Autorise les rotations autour des 3 axes. La vitesse de translation est nulle.
Un solide 2 est lié à un solide 1 par une liaison sphérique au point O. Les vitesses de rotation sont ωx(t), ωy(t), ωz(t). Déterminer le torseur cinématique.
Rotations possibles : autour des axes x, y, z
Translations bloquées : selon x, y, z
\(\vec{\Omega}_{S_2/S_1} = \omega_x(t)\vec{x} + \omega_y(t)\vec{y} + \omega_z(t)\vec{z}\)
\(\vec{V}_{O \in S_2/S_1} = \vec{0}\)
Le point O est fixe dans la liaison sphérique
\(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_x\vec{x} + \omega_y\vec{y} + \omega_z\vec{z} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_O\)
En un point A ≠ O : \(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = \vec{V}_{O \in S_2/S_1} + \vec{\Omega}_{S_2/S_1} \wedge \overrightarrow{OA} = \vec{\Omega}_{S_2/S_1} \wedge \overrightarrow{OA}\)
Le torseur cinématique de la liaison sphérique a 3 composantes de rotation et une translation nulle au centre.
• Sphérique : Trois composantes de rotation possibles
• Translation : Nulle au point de liaison
• Formule de transport : \(\vec{V}_A = \vec{V}_O + \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OA}\)
Liaison pivot-glissant : Autorise une rotation et une translation selon le même axe. m = 2, l = 4.
Un solide 2 est lié à un solide 1 par une liaison pivot-glissant d'axe (O,z). La rotation a pour vitesse ω(t) et la translation v(t). Déterminer le torseur cinématique.
Mouvements autorisés : rotation autour de z et translation selon z
Mouvements bloqués : rotation autour de x,y et translation selon x,y
\(\vec{\Omega}_{S_2/S_1} = \omega(t)\vec{z}\)
\(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = v(t)\vec{z}\)
Pour tout point A appartenant à l'axe (O,z)
\(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega(t)\vec{z} \\ v(t)\vec{z} \end{Bmatrix}_A\)
Ce torseur est constant en tout point de l'axe : c'est un torseur couple
Le point A peut être n'importe quel point de l'axe (O,z)
Exemples : vis à tête carrée, tige filetée, vérin télescopique
Le torseur cinématique de la liaison pivot-glissant a une rotation et une translation selon le même axe.
• Pivot-glissant : Rotation et translation selon le même axe
• Torseur couple : Constant en tout point de l'axe
• Applications : Vis, tiges filetées, systèmes à vis-écrou
Composition des mouvements : Pour des liaisons en série, on compose les torseurs cinématiques : \(\{\mathcal{V}_{S_3/S_1}\} = \{\mathcal{V}_{S_3/S_2}\} + \{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\}\).
Soit un système avec trois solides S₁, S₂, S₃. S₂ est lié à S₁ par une liaison pivot d'axe (O,z) et S₃ est lié à S₂ par une liaison glissière d'axe (A,x). Déterminer le torseur cinématique de S₃ par rapport à S₁.
\(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_1\vec{z} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_O\)
\(\{\mathcal{V}_{S_3/S_2}\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ v_2\vec{x} \end{Bmatrix}_A\)
Pour additionner les torseurs au même point, transportons le torseur pivot au point A :
\(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = \vec{V}_{O \in S_2/S_1} + \vec{\Omega}_{S_2/S_1} \wedge \overrightarrow{OA} = \vec{0} + \omega_1\vec{z} \wedge \overrightarrow{OA}\)
Si \(\overrightarrow{OA} = x_A\vec{x} + y_A\vec{y} + z_A\vec{z}\), alors \(\vec{V}_{A \in S_2/S_1} = \omega_1\vec{z} \wedge (x_A\vec{x} + y_A\vec{y}) = \omega_1(-y_A\vec{x} + x_A\vec{y})\)
\(\{\mathcal{V}_{S_3/S_1}\} = \{\mathcal{V}_{S_3/S_2}\} + \{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ v_2\vec{x} \end{Bmatrix}_A + \begin{Bmatrix} \omega_1\vec{z} \\ \omega_1(-y_A\vec{x} + x_A\vec{y}) \end{Bmatrix}_A\)
\(\{\mathcal{V}_{S_3/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_1\vec{z} \\ v_2\vec{x} + \omega_1(-y_A\vec{x} + x_A\vec{y}) \end{Bmatrix}_A\)
\(\{\mathcal{V}_{S_3/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_1\vec{z} \\ (v_2 - \omega_1 y_A)\vec{x} + \omega_1 x_A\vec{y} \end{Bmatrix}_A\)
Le torseur cinématique résultant combine la rotation du pivot et la translation de la glissière.
• Composition : Addition des torseurs cinématiques
• Transport : Utiliser la formule \(\vec{V}_A = \vec{V}_O + \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OA}\)
• Série : Les liaisons s'ajoutent pour limiter davantage les mouvements
- Liaison encastrement : \(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}\) (immobile)
- Liaison pivot : \(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega\vec{z} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}\) (rotation)
- Liaison glissière : \(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ v\vec{x} \end{Bmatrix}\) (translation)
- Liaison sphérique : \(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}\) (rotations libres)
- Liaison appui-plan : \(\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_y\vec{y}+\omega_z\vec{z} \\ v_x\vec{x} \end{Bmatrix}\) (1T + 2R)
- Le torseur cinématique est invariant par translation le long de son axe central
- La formule de transport permet de changer le point de réduction
- Pour des liaisons en série : \(\{\mathcal{V}_{S_3/S_1}\} = \{\mathcal{V}_{S_3/S_2}\} + \{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\}\)
- Les liaisons en parallèle imposent plus de contraintes
- La mobilité d'un mécanisme se calcule à partir des liaisons
