Événement - Événement Certain / Impossible | Mathématiques Seconde - Vocabulaire des Probabilités

Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue de l'univers.

Exemple : dans le lancer d'un dé, l'événement "obtenir 3" est un événement élémentaire.

Un événement composé est un événement qui contient plusieurs issues de l'univers.

Exemple : dans le lancer d'un dé, l'événement "obtenir un nombre pair" est un événement composé.

Un événement certain est un événement qui se produit à coup sûr lors de l'expérience.

Un événement certain est égal à l'univers Ω.

La probabilité d'un événement certain est égale à 1.

• Lors du lancer d'un dé, l'événement "obtenir un nombre entre 1 et 6" est certain
• Lors du lancer d'une pièce, l'événement "obtenir pile ou face" est certain
• Lors du tirage d'une carte dans un jeu standard, l'événement "obtenir une carte rouge ou noire" est certain

Un événement impossible est un événement qui ne se produit jamais lors de l'expérience.

Un événement impossible est égal à l'ensemble vide ∅.

La probabilité d'un événement impossible est égale à 0.

• Lors du lancer d'un dé standard, l'événement "obtenir 7" est impossible
• Lors du lancer d'une pièce, l'événement "obtenir ni pile ni face" est impossible
• Lors du tirage d'une carte dans un jeu standard, l'événement "obtenir une carte verte" est impossible

Le diagramme de Venn montre visuellement les relations entre l'univers Ω et différents événements :

• L'univers Ω est représenté par un rectangle
• Un événement A est représenté par un cercle à l'intérieur du rectangle
• Un événement certain remplit tout l'univers
• Un événement impossible est un ensemble vide (aucun cercle)

L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Toutes les issues sont strictement positives

L'événement A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω

Donc A est un événement certain.

L'événement B = {2, 4, 6}

Cet événement contient des éléments de Ω mais pas tous

Donc B est un événement possible (ni certain ni impossible).

Le nombre 7 n'appartient pas à l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

L'événement C = ∅

Donc C est un événement impossible.

Toutes les issues de Ω sont inférieures ou égales à 6

L'événement D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω

Donc D est un événement certain.

Dans Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les multiples de 3 sont 3 et 6

L'événement E = {3, 6}

Donc E est un événement possible (ni certain ni impossible).

L'union de deux événements A et B, notée A ∪ B, est l'événement qui se réalise si A ou B (ou les deux) se réalisent.

Exemple : si A = {1, 2} et B = {2, 3}, alors A ∪ B = {1, 2, 3}.

L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'événement qui se réalise si A et B se réalisent simultanément.

Exemple : si A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4}, alors A ∩ B = {2, 3}.

Deux événements A et B sont contraires si A ∪ B = Ω et A ∩ B = ∅.

On note souvent le contraire de A comme Ā (A barre).

Exemple : dans le lancer d'une pièce, "pile" et "face" sont des événements contraires.

• Ω ∪ A = Ω (pour tout événement A)
• Ω ∩ A = A (pour tout événement A)
• Le contraire de ∅ est Ω
• P(Ω) = 1

• ∅ ∪ A = A (pour tout événement A)
• ∅ ∩ A = ∅ (pour tout événement A)
• Le contraire de Ω est ∅
• P(∅) = 0

Pour tout événement A et son contraire Ā :

• A ∪ Ā = Ω (événement certain)
• A ∩ Ā = ∅ (événement impossible)
• P(A) + P(Ā) = 1

Les événements certains et impossibles sont omniprésents dans les jeux de hasard :

• Dans un jeu de cartes, "tirer une carte rouge ou noire" est certain
• "Tirer une carte verte" est impossible dans un jeu standard
• "Gagner ou perdre" est un événement certain dans un jeu

Les événements certains et impossibles sont utilisés dans les enquêtes et études :

• "Répondre ou ne pas répondre" à un sondage est certain
• "Avoir plus de 100% de réponse" est impossible
• "Être homme ou femme" est souvent considéré comme certain

De nombreuses situations en science impliquent des événements certains ou impossibles :

• "La somme des probabilités de tous les événements possibles est 1" est certain
• "Un événement avoir une probabilité négative" est impossible
• "Un système fonctionne ou ne fonctionne pas" est certain

On lance deux dés équilibrés. Soit l'événement A : "la somme des deux dés est égale à 13".

1. Décrire l'univers de cette expérience.

2. Déterminer si l'événement A est certain, impossible ou possible.

3. Soit l'événement B : "la somme des deux dés est inférieure ou égale à 12". Est-ce un événement certain, impossible ou possible ?

L'univers est l'ensemble de toutes les paires possibles de résultats des deux dés :

Il y a 6 × 6 = 36 issues possibles dans l'univers.

Événement A : "la somme des deux dés est égale à 13"

La somme maximale possible est 6 + 6 = 12

Il est impossible d'obtenir une somme de 13

Donc A = ∅, c'est un événement impossible.

Événement B : "la somme des deux dés est inférieure ou égale à 12"

Toutes les sommes possibles (de 2 à 12) sont inférieures ou égales à 12

Donc B contient toutes les issues de l'univers : B = Ω

Donc B est un événement certain.

• Un événement est un sous-ensemble de l'univers Ω
• Un événement élémentaire contient une seule issue
• Un événement composé contient plusieurs issues

• Un événement certain est égal à l'univers Ω
• Il se produit à coup sûr lors de l'expérience
• Sa probabilité est égale à 1

• Un événement impossible est égal à l'ensemble vide ∅
• Il ne se produit jamais lors de l'expérience
• Sa probabilité est égale à 0

• Union : A ∪ B (A ou B se réalise)
• Intersection : A ∩ B (A et B se réalisent)
• Événements contraires : A ∪ Ā = Ω et A ∩ Ā = ∅