Événement : Sous-ensemble de l'univers Ω. Un événement est réalisé si l'issue de l'expérience lui appartient.
- Identifier l'univers Ω de l'expérience
- Décrire l'événement en question
- Identifier les issues qui réalisent cet événement
- Former l'ensemble de ces issues
- Vérifier que cet ensemble est inclus dans Ω
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre pair"
Les nombres pairs entre 1 et 6 sont : 2, 4, 6
A = {2, 4, 6}
A ⊂ Ω car {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
L'événement A = "Obtenir un nombre pair" est A = {2, 4, 6}
• Sous-ensemble : Tout événement est un sous-ensemble de Ω
• Écriture : A ⊂ Ω
• Identification : Lister les issues qui réalisent l'événement
Événement certain : L'univers Ω lui-même. Il est toujours réalisé car l'issue de l'expérience appartient toujours à Ω.
On lance une pièce de monnaie : Ω = {P, F}
L'événement certain est l'univers Ω = {P, F}
Quel que soit le résultat du lancer, il sera soit pile (P), soit face (F)
Si le résultat est P, alors P ∈ Ω
Si le résultat est F, alors F ∈ Ω
L'événement Ω est toujours réalisé
L'événement certain est Ω = {P, F}, il est toujours réalisé
• Événement certain : Ω est toujours réalisé
• Universalité : L'issue de l'expérience appartient toujours à Ω
• Notation : L'événement certain est noté Ω
Événement impossible : L'ensemble vide ∅. Il n'est jamais réalisé car aucune issue ne lui appartient.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B : "Obtenir un nombre supérieur à 6"
Les nombres supérieurs à 6 dans Ω sont... aucun !
B = ∅ (ensemble vide)
Pour toute issue ω ∈ Ω, ω ∉ B
Donc B n'est jamais réalisé
L'événement B = "Obtenir un nombre supérieur à 6" est impossible : B = ∅
• Impossible : ∅ n'est jamais réalisé
• Ensemble vide : ∅ ⊂ Ω
• Caractéristique : Aucune issue ne réalise l'événement impossible
Sous-ensemble : Un ensemble A est un sous-ensemble de Ω si tous les éléments de A appartiennent à Ω.
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes
Ω = {7♣, 8♣, ..., As♠} (32 cartes)
C : "Tirer un roi"
Les rois dans le jeu sont : Roi♣, Roi♦, Roi♥, Roi♠
C = {Roi♣, Roi♦, Roi♥, Roi♠}
Chaque roi appartient à Ω
Donc C ⊂ Ω
C est bien un événement car c'est un sous-ensemble de Ω
L'événement C = "Tirer un roi" est C = {Roi♣, Roi♦, Roi♥, Roi♠}
• Sous-ensemble : A ⊂ Ω signifie que A est un événement
• Inclusion : Tous les éléments de A doivent appartenir à Ω
• Écriture : Lister les issues qui réalisent l'événement
Preuve d'impossibilité : Pour montrer qu'un événement est impossible, il faut démontrer qu'aucune issue ne le réalise.
On lance deux dés à six faces
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}}
D : "Obtenir une somme de 15"
Minimum : 1 + 1 = 2
Maximum : 6 + 6 = 12
On cherche (i,j) tels que i + j = 15
Or, i + j ≤ 12 pour tous i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}
Il n'existe aucun couple (i,j) tel que i + j = 15
Donc D = ∅
L'événement D = "Obtenir une somme de 15" est impossible : D = ∅
• Impossibilité : Démontrer qu'aucune issue ne réalise l'événement
• Contradiction : Montrer que la condition est impossible
• Conclusion : Si aucune issue ne convient, l'événement est ∅
Événement certain : Un événement est certain s'il est égal à l'univers Ω.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E : "Obtenir un nombre entre 1 et 6"
Les nombres entre 1 et 6 dans Ω sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
Puisque E = Ω, l'événement E est certain
L'événement E = "Obtenir un nombre entre 1 et 6" est certain car E = Ω
• Égalité : Un événement est certain si E = Ω
• Universalité : L'événement certain est toujours réalisé
• Identité : Comparer l'événement à l'univers
Inclusion d'événements : Soient A et B deux événements. On dit que A ⊂ B si toute issue réalisant A réalise aussi B.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un multiple de 6" → A = {6}
B : "Obtenir un nombre pair" → B = {2, 4, 6}
C : "Obtenir un nombre inférieur à 7" → C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
A = {6} et B = {2, 4, 6}
6 ∈ B, donc A ⊂ B
A = {6} et C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
6 ∈ C, donc A ⊂ C
B = {2, 4, 6} et C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 ∈ C, 4 ∈ C, 6 ∈ C, donc B ⊂ C
A ⊂ B ⊂ C = Ω
On a A ⊂ B ⊂ Ω, avec A = {6}, B = {2, 4, 6}, C = Ω
• Inclusion : A ⊂ B si toutes les issues de A sont dans B
• Transitivité : Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C
• Universalité : Tout événement est inclus dans Ω
Événement contraire : Soit A un événement. L'événement contraire de A, noté Ā ou A̅, est l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre impair" → A = {1, 3, 5}
Ā : "Ne pas obtenir un nombre impair", soit "Obtenir un nombre pair"
Les issues de Ω qui ne sont pas dans A sont : 2, 4, 6
Ā = {2, 4, 6}
A ∪ Ā = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
A ∩ Ā = {1, 3, 5} ∩ {2, 4, 6} = ∅
L'événement contraire de A = {1, 3, 5} est Ā = {2, 4, 6}
• Définition : Ā = Ω \ A
• Propriétés : A ∪ Ā = Ω et A ∩ Ā = ∅
• Interprétation : Ā est réalisé quand A ne l'est pas
Expérience composée : Expérience qui combine plusieurs expériences simples. L'univers est un produit cartésien.
On lance simultanément un dé et une pièce
Ω = {(i,r) | i ∈ {1,2,3,4,5,6}, r ∈ {P,F}}
A : "Obtenir un nombre pair et pile"
A = {(2,P), (4,P), (6,P)}
B : "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5"
B = {(5,P), (5,F), (6,P), (6,F)}
A ∩ B = {(6,P)} (obtenir 6 et pile)
A ∪ B = {(2,P), (4,P), (5,P), (5,F), (6,P), (6,F)}
C : "Obtenir 7 et face" → C = ∅ (car 7 ∉ {1,2,3,4,5,6})
A = {(2,P), (4,P), (6,P)}, B = {(5,P), (5,F), (6,P), (6,F)}, A ∩ B = {(6,P)}
• Produit cartésien : Ω = Ω₁ × Ω₂ pour expériences indépendantes
• Opérations : A ∩ B, A ∪ B se calculent comme des ensembles
• Impossible : Peut survenir même dans une expérience composée
Application : Utilisation des concepts d'événements dans un contexte concret.
Une usine fabrique des pièces. Chaque pièce est testée et classée comme conforme (C) ou non conforme (NC).
On prélève 3 pièces successivement.
Ω = {(x₁, x₂, x₃) | xᵢ ∈ {C, NC} pour i = 1, 2, 3}
Ω = {(C,C,C), (C,C,NC), (C,NC,C), (C,NC,NC), (NC,C,C), (NC,C,NC), (NC,NC,C), (NC,NC,NC)}
A : "Toutes les pièces sont conformes"
A = {(C,C,C)}
B : "Au moins une pièce est non conforme"
B = Ω \ {(C,C,C)} = {(C,C,NC), (C,NC,C), (C,NC,NC), (NC,C,C), (NC,C,NC), (NC,NC,C), (NC,NC,NC)}
C : "Obtenir une pièce de qualité Q (non définie)" → C = ∅
D : "Obtenir des pièces conformes ou non conformes"
D = Ω (événement certain)
A = {(C,C,C)} (toutes conformes), B = Ω \ A (au moins une non conforme), C = ∅ (impossible), D = Ω (certain)
• Contexte : Adapter les concepts théoriques à la situation
• Modélisation : Traduire les phrases en langage ensembliste
• Application : Utiliser les propriétés des événements dans le contexte
