Expérience Aléatoire et Univers | Mathématiques Seconde - Vocabulaire des Probabilités

Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire :

• On connaît les résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6
• On ne peut pas prédire le résultat du lancer
• On peut répéter l'expérience autant de fois que souhaité

Tirer une carte d'un jeu de 52 cartes est une expérience aléatoire :

• On connaît les résultats possibles : 52 cartes différentes
• On ne peut pas prédire laquelle sera tirée
• On peut répéter l'expérience avec le même jeu

Lancer une pièce de monnaie est une expérience aléatoire :

• On connaît les résultats possibles : pile ou face
• On ne peut pas prédire le résultat
• On peut répéter l'expérience autant de fois que souhaité

L'univers, noté \(\Omega\) (oméga majuscule), est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.

Chaque élément de \(\Omega\) est appelé une issue ou un événement élémentaire.

Où \(\omega_i\) sont les issues possibles de l'expérience.

• L'univers contient toutes les issues possibles
• Chaque issue est unique dans l'univers
• Une expérience aléatoire ne peut produire qu'une seule issue de l'univers

Expérience : lancer un dé à six faces numérotées de 1 à 6

Résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6

L'univers contient 6 issues possibles.

Expérience : lancer une pièce de monnaie

Résultats possibles : pile (P) ou face (F)

L'univers contient 2 issues possibles.

Expérience : tirer une boule dans une urne contenant 3 boules rouges (R), 2 vertes (V) et 1 bleue (B)

Résultats possibles : R, R, R, V, V, B

Ou plus simplement : \(\Omega = \{R, V, B\}\) si on ne distingue pas les boules de même couleur

Le diagramme de l'univers montre visuellement toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Chaque point ou section du diagramme représente une issue possible. Cette représentation aide à visualiser l'ensemble des résultats possibles et à comprendre la structure de l'expérience aléatoire.

Cette situation est une expérience aléatoire car :

• 1 On peut prévoir l'ensemble des résultats possibles : tirer un jeton rouge (1, 2, 3 ou 4), vert (1, 2 ou 3), ou bleu (1 ou 2)
• 2 On ne peut pas prévoir le résultat qui sera obtenu : on ne sait pas quelle couleur ni quel numéro aura le jeton tiré
• 3 L'expérience peut être répétée dans les mêmes conditions : on peut refaire le tirage plusieurs fois avec le même jeu de jetons

Les résultats possibles sont :

• Jeton rouge : R1, R2, R3, R4
• Jeton vert : V1, V2, V3
• Jeton bleu : B1, B2

L'univers est donc :

Cet univers contient 9 issues possibles.

Une expérience aléatoire composée est une expérience qui résulte de la succession de plusieurs expériences aléatoires simples.

Par exemple :

• Lancer deux dés successivement
• Tirer deux cartes successivement d'un jeu
• Lancer une pièce puis tirer une boule

L'univers d'une expérience composée est le produit cartésien des univers des expériences simples.

Par exemple, pour deux lancers successifs d'un dé :

Soit : \(\Omega = \{(1,1), (1,2), ..., (6,6)\}\) avec 36 issues possibles.

Chaque pièce peut tomber sur pile (P) ou face (F).

Pour la première pièce : \(\Omega_1 = \{P, F\}\)

Pour la seconde pièce : \(\Omega_2 = \{P, F\}\)

L'univers de l'expérience composée est :

Il y a donc 4 issues possibles dans l'univers.

• (P,P) : pile sur la première pièce et pile sur la seconde
• (P,F) : pile sur la première pièce et face sur la seconde
• (F,P) : face sur la première pièce et pile sur la seconde
• (F,F) : face sur la première pièce et face sur la seconde

Les expériences aléatoires sont omniprésentes dans les jeux de hasard :

• Lancers de dés dans les jeux de société
• Tirages de cartes dans les jeux de cartes
• Lancers de pièces pour décider de quelque chose

Les expériences aléatoires sont utilisées dans les enquêtes et études :

• Sondages d'opinion
• Tests médicaux
• Analyses de marché

De nombreuses situations en science sont modélisées comme des expériences aléatoires :

• Phénomènes quantiques en physique
• Modèles de probabilité en biologie
• Prévisions météorologiques

Une urne contient 3 boules blanches (B1, B2, B3) et 2 boules noires (N1, N2). On tire successivement deux boules sans remise.

1. Justifier que cette situation est une expérience aléatoire.

2. Décrire l'univers de cette expérience.

3. Combien d'issues possibles y a-t-il ?

Cette situation est une expérience aléatoire car :

• On peut prévoir l'ensemble des résultats possibles (toutes les paires de boules)
• On ne peut pas prévoir le résultat qui sera obtenu
• L'expérience peut être répétée dans les mêmes conditions

On tire successivement deux boules sans remise. L'univers est l'ensemble de toutes les paires possibles (première boule, deuxième boule) où les deux boules sont différentes.

L'univers est :

Il y a 5 boules au total. Pour la première boule, on a 5 choix. Pour la deuxième boule, on en a 4 (puisque la première est retirée). Donc le nombre total d'issues est : 5 × 4 = 20.

• On peut prévoir l'ensemble des résultats possibles
• On ne peut pas prévoir le résultat qui sera obtenu
• L'expérience peut être répétée dans les mêmes conditions

• Noté \(\Omega\), c'est l'ensemble de toutes les issues possibles
• Chaque élément de \(\Omega\) est une issue ou événement élémentaire
• Contient toutes les issues possibles de l'expérience

• Résulte de la succession de plusieurs expériences simples
• L'univers est le produit cartésien des univers simples
• Permet de modéliser des situations complexes