Accélération et Variations de Vitesse | du Point | Sciences de l'Ingénieur

La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro :

Elle correspond à la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

Sur une courbe de position en fonction du temps, la vitesse instantanée en un point est égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Plus la pente est raide, plus la vitesse est élevée.

L'accélération est une grandeur vectorielle qui caractérise la variation de la vitesse d'un point matériel au cours du temps. Elle indique comment la vitesse change en intensité et/ou en direction.

L'accélération moyenne est définie comme le rapport entre la variation de vitesse et la durée :

Dans le système international (SI), l'accélération s'exprime en mètre par seconde au carré (m/s²).

1 m/s² signifie que la vitesse varie de 1 m/s chaque seconde.

L'accélération instantanée est la limite de l'accélération moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro :

Elle correspond donc à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

Puisque la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, l'accélération est la dérivée seconde de la position :

L'accélération tangentielle modifie la norme (intensité) de la vitesse. Elle est colinéaire au vecteur vitesse.

Son expression est : \( a_t = \frac{dv}{dt} \)

Elle est responsable de la variation de la rapidité du mouvement.

L'accélération normale modifie la direction du mouvement. Elle est perpendiculaire au vecteur vitesse.

Son expression est : \( a_n = \frac{v^2}{R} \)

Où R est le rayon de courbure de la trajectoire.

- Courbe x(t) : droite de pente constante (vitesse)\n- Courbe v(t) : droite horizontale (vitesse constante)\n- Courbe a(t) : droite horizontale confondue avec l'axe (accélération nulle)

Il existe une relation entre la vitesse finale, la vitesse initiale, l'accélération et le déplacement :

Un mouvement est dit circulaire uniforme si :

• La trajectoire est un cercle
• La valeur de la vitesse est constante
• La vitesse change de direction
• Il existe une accélération centripète

- Vitesse angulaire : \( \omega = \frac{d\theta}{dt} \)
- Accélération angulaire : \( \alpha = \frac{d\omega}{dt} \)
- Période : \( T = \frac{2\pi}{\omega} \)
- Fréquence : \( f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \)

Dans un MCU, l'accélération est purement centripète :

Cette accélération est dirigée vers le centre du cercle.

Un mouvement est dit circulaire uniformément varié si :

• La trajectoire est un cercle
• L'accélération angulaire est constante
• La vitesse angulaire varie linéairement avec le temps

- Angle : \( \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \)
- Vitesse angulaire : \( \omega(t) = \omega_0 + \alpha t \)
- Accélération angulaire : \( \alpha = \text{constante} \)

- Accélération tangentielle : \( a_t = \alpha R \)
- Accélération normale : \( a_n = \omega^2 R \)
- Accélération totale : \( a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \)

Données : \( v = 60 \) km/h, \( x_0 = 10 \) km

- Équation de la position : \( x(t) = 10 + 60t \) (en km, t en heures)
- Équation de la vitesse : \( v(t) = 60 \) km/h
- Équation de l'accélération : \( a(t) = 0 \) km/h²

\( x(2) = 10 + 60 \times 2 = 10 + 120 = 130 \) km

Données : \( v_0 = 0 \) m/s, \( a = 2 \) m/s², \( t = 5 \) s, \( x_0 = 0 \)

- Équation de la vitesse : \( v(t) = v_0 + at = 0 + 2 \times 5 = 10 \) m/s
- Équation de la position : \( x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 25 = 25 \) m

Utilisons la formule de Torricelli : \( v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0) \)
\( 10^2 - 0^2 = 2 \times 2 \times (x - 0) \)
\( 100 = 4x \Rightarrow x = 25 \) m ✓

Données : \( v = 7,5 \) km/s = 7500 m/s, \( R = 7000 \) km = 7,000,000 m

Accélération centripète : \( a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(7500)^2}{7,000,000} = \frac{56,250,000}{7,000,000} = 8,036 \) m/s²

On peut aussi utiliser : \( a_c = \omega^2 R \)
D'abord, trouvons \( \omega \) : \( v = \omega R \Rightarrow \omega = \frac{v}{R} = \frac{7500}{7,000,000} = 0,00107 \) rad/s
Puis : \( a_c = \omega^2 R = (0,00107)^2 \times 7,000,000 = 0,00000114 \times 7,000,000 = 8,036 \) m/s² ✓

• Moto GP : accélérations et décélérations importantes
• Formule 1 : accélération de 0 à 100 km/h en ~2,5s
• Cyclisme : variations de vitesse selon le terrain

• Convoyeurs : mouvements rectilignes avec phases d'accélération
• Robots industriels : contrôle précis des accélérations
• Tapis roulants : souvent en MRU pour une vitesse constante

Un accéléromètre est un capteur qui mesure les forces d'inertie exercées sur une masse connue. Lorsqu'il subit une accélération, la masse interne se déplace proportionnellement à l'accélération.

Les accéléromètres sont utilisés dans :

• Téléphones portables (écran automatique)
• Véhicules (airbags, ABS)
• Smartphones (jeux, navigation)

• Double dérivation de la position mesurée par GPS
• Capteurs MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems)
• Accéléromètres piézo-électriques
• Calcul à partir de la vitesse mesurée à deux instants différents

• Vitesse moyenne : \( \vec{v}_{moy} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \)
• Vitesse instantanée : \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \)

• Accélération moyenne : \( \vec{a}_{moy} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \)
• Accélération instantanée : \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \)

• MRU : vitesse constante, accélération nulle
• MRUV : accélération constante
• MCU : vitesse constante, accélération centripète
• MCUV : accélération angulaire constante

• Phase 1 (accélération) : \( t_1 = 10 \) s, \( a = 3 \) m/s², \( v_0 = 0 \) m/s
• Phase 2 (MRU) : \( t_2 = 20 \) s, \( v = \text{constante} \)

\( v = v_0 + at = 0 + 3 \times 10 = 30 \) m/s

\( x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 100 = 150 \) m

Phase 1 : 150 m (calculé ci-dessus)
Phase 2 : MRU à 30 m/s pendant 20 s
\( x_2 = v \times t = 30 \times 20 = 600 \) m
Distance totale : \( x_{total} = 150 + 600 = 750 \) m