Représentations Graphiques | du Point | Sciences de l'Ingénieur

À partir d'un graphique de position x(t), on peut obtenir plusieurs informations :

• La position de l'objet à un instant donné
• La vitesse instantanée (pente de la tangente)
• La direction du mouvement (signe de la pente)
• Les changements de direction (points où la pente change de signe)

• Ligne horizontale : objet immobile (vitesse nulle)
• Ligne droite : mouvement uniforme (vitesse constante)
• Courbe convexe : accélération positive
• Courbe concave : accélération négative

Le graphique de vitesse en fonction du temps, noté v(t), représente la vitesse d'un objet en mouvement en fonction du temps écoulé. L'axe horizontal (abscisse) représente le temps t, et l'axe vertical (ordonnée) représente la vitesse v.

Ce graphique permet de visualiser la variation de la vitesse au cours du temps et d'en déduire l'accélération.

À partir d'un graphique de vitesse v(t), on peut obtenir :

• La vitesse de l'objet à un instant donné
• L'accélération instantanée (pente de la tangente)
• La direction du mouvement (signe de la vitesse)
• Le changement de direction (points où la vitesse change de signe)
• La distance parcourue (aire sous la courbe)

• Ligne horizontale : vitesse constante (accélération nulle)
• Ligne droite ascendante : accélération positive constante
• Ligne droite descendante : accélération négative constante
• Courbe : accélération variable

La distance parcourue entre deux instants t₁ et t₂ est égale à l'aire située entre la courbe v(t) et l'axe des temps.

Si la vitesse est positive, l'aire correspond à une distance positive. Si la vitesse est négative, l'aire correspond à une distance négative.

• Vitesse positive : objet se déplace dans le sens positif de l'axe
• Vitesse négative : objet se déplace dans le sens négatif de l'axe
• Vitesse nulle : objet immobile

Le graphique d'accélération en fonction du temps, noté a(t), représente l'accélération d'un objet en mouvement en fonction du temps écoulé. L'axe horizontal (abscisse) représente le temps t, et l'axe vertical (ordonnée) représente l'accélération a.

Ce graphique permet de visualiser la variation de l'accélération au cours du temps et d'en déduire la variation de la vitesse.

À partir d'un graphique d'accélération a(t), on peut obtenir :

• L'accélération de l'objet à un instant donné
• La variation de la vitesse (aire sous la courbe)
• Le changement de la direction de l'accélération (points où a change de signe)

Les relations mathématiques entre les grandeurs cinématiques sont :

• Vitesse est la dérivée de la position : \( v(t) = \frac{dx}{dt} \)
• Accélération est la dérivée de la vitesse : \( a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \)
• Vitesse est la primitive de l'accélération : \( v(t) = \int a(t)dt \)
• Position est la primitive de la vitesse : \( x(t) = \int v(t)dt \)

• La pente de x(t) donne v(t)
• La pente de v(t) donne a(t)
• L'aire sous a(t) donne la variation de v(t)
• L'aire sous v(t) donne la variation de x(t)

• Graphique x(t) : droite de pente constante (vitesse)
• Graphique v(t) : droite horizontale (vitesse constante)
• Graphique a(t) : droite horizontale confondue avec l'axe (accélération nulle)

Soit un objet initialement à x₀ = 2 m et se déplaçant à v = 3 m/s.

• Équation de position : x(t) = 2 + 3t
• Équation de vitesse : v(t) = 3 m/s
• Équation d'accélération : a(t) = 0 m/s²

• Graphique x(t) : parabole (position quadratique en t)
• Graphique v(t) : droite (vitesse linéaire en t)
• Graphique a(t) : droite horizontale (accélération constante)

Soit un objet initialement immobile (v₀ = 0) à x₀ = 0, soumis à une accélération a = 2 m/s².

• Équation de position : x(t) = 0 + 0×t + ½×2×t² = t²
• Équation de vitesse : v(t) = 0 + 2t = 2t
• Équation d'accélération : a(t) = 2 m/s²

Pour passer du graphique x(t) au graphique v(t), on calcule la pente de la tangente à la courbe x(t) à chaque instant.

• Pente positive → v > 0
• Pente négative → v < 0
• Pente nulle → v = 0
• Pente constante → v constant
• Pente variable → v variable

Pour passer du graphique v(t) au graphique a(t), on calcule la pente de la tangente à la courbe v(t) à chaque instant.

• Pente positive → a > 0
• Pente négative → a < 0
• Pente nulle → a = 0
• Pente constante → a constant
• Pente variable → a variable

Pour passer du graphique a(t) au graphique v(t), on calcule l'aire sous la courbe a(t) entre l'instant initial et l'instant considéré.

• Moto GP : graphiques de vitesse et d'accélération pendant une course
• Formule 1 : analyse des performances à partir des graphiques
• Cyclisme : graphiques de vitesse pendant une course à étapes

• Convoyeurs : graphiques de position et vitesse des objets transportés
• Robots industriels : contrôle des mouvements à partir des graphiques
• Monte-charges : graphiques de position, vitesse et accélération

Sur un graphique complexe, on peut identifier différentes phases de mouvement :

• Phase d'accélération : pente positive sur v(t) ou valeur positive sur a(t)
• Phase de vitesse constante : plateau sur v(t) ou valeur nulle sur a(t)
• Phase de décélération : pente négative sur v(t) ou valeur négative sur a(t)

• Point d'inflexion sur x(t) : changement de concavité, correspond à a = 0
• Maximum ou minimum local sur v(t) : changement de signe de a
• Intersection avec l'axe des abscisses sur v(t) : changement de direction

Chaque segment de courbe correspond à un type de mouvement spécifique. L'analyse permet de comprendre le comportement physique du système étudié.

• Graphique x(t) : position en fonction du temps
• Graphique v(t) : vitesse en fonction du temps
• Graphique a(t) : accélération en fonction du temps

• Pente de x(t) = v(t)
• Pente de v(t) = a(t)
• Aire sous a(t) = variation de v(t)
• Aire sous v(t) = variation de x(t)

• MRU : x(t) droite, v(t) constante, a(t) nulle
• MRUV : x(t) parabole, v(t) droite, a(t) constante

• Phase 1 (0-10s) : droite ascendante → MRUV avec a > 0
• Phase 2 (10-20s) : plateau → MRU avec a = 0
• Phase 3 (20-30s) : droite descendante → MRUV avec a < 0

Pente = (20-0)/(10-0) = 2 m/s² → a₁ = 2 m/s²

Pente = 0 → a₂ = 0 m/s²

Pente = (0-20)/(30-20) = -2 m/s² → a₃ = -2 m/s²

• Phase 1 : aire d'un triangle = ½ × 10 × 20 = 100 m
• Phase 2 : aire d'un rectangle = 10 × 20 = 200 m
• Phase 3 : aire d'un triangle = ½ × 10 × 20 = 100 m
• Distance totale = 100 + 200 + 100 = 400 m