1 Addition : Commutative (a + b = b + a) et associative ((a + b) + c = a + (b + c))
2 Multiplication : Commutative (a × b = b × a) et associative ((a × b) × c = a × (b × c))
3 Soustraction : Ni commutative ni associative
4 Division : Ni commutative ni associative

Lorsqu'on effectue un calcul comportant plusieurs opérations, on respecte l'ordre suivant :

1. Les parenthèses (intérieures puis extérieures)
2. Les puissances
3. Les multiplications et divisions (de gauche à droite)
4. Les additions et soustractions (de gauche à droite)

Le produit de deux nombres relatifs :

• Est positif si les deux nombres sont de même signe
• Est négatif si les deux nombres sont de signes contraires

Le quotient de deux nombres relatifs suit les mêmes règles que la multiplication :

• Positif si les deux nombres sont de même signe
• Négatif si les deux nombres sont de signes contraires

On additionne les distances à zéro et on conserve le signe commun :

• (+3) + (+5) = +8
• (-3) + (-5) = -8

On soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro :

• (+7) + (-3) = +4 (car 7 > 3)
• (-7) + (+3) = -4 (car 7 > 3)

a - b = a + (-b)

Exemples :

• 5 - 3 = 5 + (-3) = 2
• 5 - (-3) = 5 + 3 = 8
• -5 - 3 = -5 + (-3) = -8
• -5 - (-3) = -5 + 3 = -2

Devant une parenthèse précédée du signe +, on supprime les parenthèses et le signe + :

a + (b + c) = a + b + c

Devant une parenthèse précédée du signe -, on change les signes à l'intérieur :

a - (b + c) = a - b - c

a - (b - c) = a - b + c

k(a + b) = ka + kb

k(a - b) = ka - kb

Exemple : 3(2x - 5) = 6x - 15

Exemple : (x + 2)(y - 3) = xy - 3x + 2y - 6

On réduit au même dénominateur :

Pour un nombre a et un entier n ≥ 1 :

Par convention : \(a^0 = 1\) (pour a ≠ 0)

• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
• \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) (avec a ≠ 0)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((ab)^n = a^n b^n\)
• \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) (avec b ≠ 0)

Un nombre en notation scientifique s'écrit : a × 10^n

Avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif

Exemple : 3450 = 3.45 × 10³

Exemple : 0.0025 = 2.5 × 10⁻³

1 Finance : Calculs de taux d'intérêt composés
2 Science : Calculs de grandeurs physiques
3 Technologie : Calculs dans les algorithmes
4 Économie : Calculs de variations et proportions

• Oublier les priorités opératoires
• Se tromper dans les signes lors de la suppression de parenthèses
• Confondre addition et multiplication de fractions
• Erreurs de calcul avec les puissances

A = 5 + 3 × (7 - 2) - 8 ÷ 4

A = 5 + 3 × 5 - 8 ÷ 4 (parenthèses)

A = 5 + 15 - 2 (multiplication et division)

A = 18 (addition et soustraction de gauche à droite)

B = 2(x - 3) - (x + 4) + 3(2x - 1)

B = 2x - 6 - x - 4 + 6x - 3 (distribution)

B = (2x - x + 6x) + (-6 - 4 - 3) (regroupement)

B = 7x - 13

C = \(\frac{3}{4} + \frac{2}{5} \times \frac{10}{3}\)

C = \(\frac{3}{4} + \frac{2 \times 10}{5 \times 3}\) (multiplication de fractions)

C = \(\frac{3}{4} + \frac{20}{15}\)

C = \(\frac{3}{4} + \frac{4}{3}\) (simplification)

C = \(\frac{9}{12} + \frac{16}{12}\) (réduction au même dénominateur)

C = \(\frac{25}{12}\)

• Parenthèses
• Puissances
• Multiplications et divisions (de gauche à droite)
• Additions et soustractions (de gauche à droite)

• (+) × (+) = (+) et (-) × (-) = (+)
• (+) × (-) = (-) et (-) × (+) = (-)
• Idem pour la division
• Soustraire = ajouter l'opposé

• Addition/soustraction : réduire au même dénominateur
• Multiplication : multiplier numérateurs et dénominateurs
• Division : multiplier par l'inverse