1 a = b : a est égal à b
2 a < b : a est strictement inférieur à b
3 a > b : a est strictement supérieur à b
4 a ≤ b : a est inférieur ou égal à b
5 a ≥ b : a est supérieur ou égal à b

1 Calculer la différence a - b et déterminer son signe
2 Comparer les écritures décimales (si possible)
3 Utiliser la droite graduée pour visualiser
4 Élever au carré (pour les nombres positifs)

1 Réflexivité : Pour tout a ∈ ℝ, a ≤ a
2 Antisymétrie : Si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b
3 Transitivité : Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c
4 Totalité : Pour tous a, b ∈ ℝ, on a soit a ≤ b, soit b ≤ a

1 Addition : Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tout c
2 Multiplication par un nombre positif : Si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc
3 Multiplication par un nombre négatif : Si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc
4 Passage à l'inverse : Si 0 < a ≤ b, alors 1/b ≤ 1/a

Pour comparer deux nombres a et b, on calcule a - b :

• Si a - b > 0, alors a > b
• Si a - b < 0, alors a < b
• Si a - b = 0, alors a = b

1 Élever au carré : Pour comparer des nombres positifs, on peut comparer leurs carrés
2 Multiplier par un nombre positif : Pour simplifier la comparaison
3 Utiliser des approximations : Pour comparer des nombres complexes
4 Faire appel à des propriétés connues : Comme √2 ≈ 1.414...

Encadrer un nombre x, c'est trouver deux nombres a et b tels que :

On dit que x est encadré par a et b.

L'amplitude d'un encadrement a ≤ x ≤ b est la différence b - a.

Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis.

Exemple : 3.14 ≤ π ≤ 3.15 a une amplitude de 0.01

1 π : 3.14 ≤ π ≤ 3.15
2 √2 : 1.41 ≤ √2 ≤ 1.42
3 e : 2.71 ≤ e ≤ 2.72
4 1/3 : 0.33 ≤ 1/3 ≤ 0.34

Une valeur approchée par défaut d'un nombre x à 10⁻ⁿ près est un nombre a tel que :

Exemple : 1.41 est une valeur approchée par défaut de √2 à 10⁻² près

Une valeur approchée par excès d'un nombre x à 10⁻ⁿ près est un nombre b tel que :

Exemple : 1.42 est une valeur approchée par excès de √2 à 10⁻² près

L'arrondi d'un nombre x à 10⁻ⁿ près est la valeur qui minimise la distance entre x et la valeur approchée.

Exemple : L'arrondi de π à 10⁻² près est 3.14 (car π ≈ 3.14159...)

Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors :

Exemple : Si 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2, alors 3 ≤ x + y ≤ 5

Si 0 ≤ a ≤ x ≤ b et 0 ≤ c ≤ y ≤ d, alors :

Attention : cette règle ne s'applique que si tous les nombres sont positifs.

Si a ≤ x ≤ b et k > 0, alors :

Exemple : Si 2 ≤ x ≤ 3 et k = 5, alors 10 ≤ 5x ≤ 15

Si a ≤ x ≤ b et k < 0, alors :

Le sens des inégalités change !

1 Sciences physiques : Mesures avec incertitudes
2 Économie : Estimations et fourchettes de prix
3 Ingénierie : Tolérances et marges de sécurité
4 Mathématiques : Approximations et majorations

• Encadrement des composantes d'une expression
• Utilisation des propriétés de monotonie
• Majoration et minoration des termes
• Application des règles d'opérations sur les encadrements

On calcule les carrés : (√3)² = 3 et (1.7)² = 2.89

Comme 3 > 2.89, on a (√3)² > (1.7)²

Or √3 > 0 et 1.7 > 0, donc √3 > 1.7

On sait que 3.14 ≤ π ≤ 3.15

Comme π > 0, on peut élever au carré : (3.14)² ≤ π² ≤ (3.15)²

Donc : 9.8596 ≤ π² ≤ 9.9225

On cherche des nombres dont les carrés encadrent 5.

2.2² = 4.84 et 2.3² = 5.29, donc 2.2 < √5 < 2.3

On affine : 2.23² = 4.9729 et 2.24² = 5.0176

Donc : 2.23 ≤ √5 ≤ 2.24

• Calcul de la différence a - b
• Élevage au carré pour les nombres positifs
• Utilisation de la droite graduée
• Comparaison des écritures décimales

• Réflexivité, antisymétrie, transitivité, totalité
• Compatibilité avec l'addition
• Compatibilité avec la multiplication (changer le sens si négatif)

• Addition : a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d ⇒ a+c ≤ x+y ≤ b+d
• Produit de positifs : a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d ⇒ ac ≤ xy ≤ bd
• Multiplication par positif : a ≤ x ≤ b et k > 0 ⇒ ka ≤ kx ≤ kb
• Multiplication par négatif : a ≤ x ≤ b et k < 0 ⇒ kb ≤ kx ≤ ka