Intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts
Intervalles de l'ensemble des réels
Découvrez les différents types d'intervalles de nombres réels
Définition des intervalles
Qu'est-ce qu'un intervalle ?
Un intervalle de ℝ est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes (éventuellement infinies), tel que pour tous nombres a et b de cet ensemble, tous les nombres situés entre a et b appartiennent également à l'ensemble.
Sur la droite graduée, un intervalle est représenté par un segment de droite ou une demi-droite.
Intervalles fermés
Intervalle fermé [a, b]
Soient a et b deux nombres réels avec a ≤ b.
On lit : "l'ensemble des x appartenant à ℝ tels que a est inférieur ou égal à x et x est inférieur ou égal à b".
2 Notation : crochets fermés [a, b]
3 Inégalités : a ≤ x ≤ b
[1, 4] est l'ensemble des nombres réels x tels que 1 ≤ x ≤ 4.
Par exemple : 1, 2.5, 3.7, 4 ∈ [1, 4] mais 0.5 ∉ [1, 4] et 4.2 ∉ [1, 4].
Intervalles ouverts
Intervalle ouvert ]a, b[
Soient a et b deux nombres réels avec a < b.
On lit : "l'ensemble des x appartenant à ℝ tels que a est strictement inférieur à x et x est strictement inférieur à b".
2 Notation : parenthèses ou crochets tournés vers l'extérieur ]a, b[
3 Inégalités strictes : a < x < b
]2, 7[ est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 < x < 7.
Par exemple : 3, 4.5, 6.9 ∈ ]2, 7[ mais 2 ∉ ]2, 7[ et 7 ∉ ]2, 7[.
Intervalles semi-ouverts
Intervalles semi-ouverts [a, b[ et ]a, b]
Soient a et b deux nombres réels avec a < b.
La borne a est incluse, la borne b est exclue.
Soient a et b deux nombres réels avec a < b.
La borne a est exclue, la borne b est incluse.
[3, 8[ est l'ensemble des x tels que 3 ≤ x < 8. Donc 3 ∈ [3, 8[ mais 8 ∉ [3, 8[.
]1, 5] est l'ensemble des x tels que 1 < x ≤ 5. Donc 1 ∉ ]1, 5] mais 5 ∈ ]1, 5].
Intervalles avec bornes infinies
Intervalles non bornés
Exemple : [2, +∞[ est l'ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à 2.
Exemple : ]2, +∞[ est l'ensemble des nombres réels strictement supérieurs à 2.
Exemple : ]-∞, 5] est l'ensemble des nombres réels inférieurs ou égaux à 5.
Exemple : ]-∞, 5[ est l'ensemble des nombres réels strictement inférieurs à 5.
C'est l'ensemble de tous les nombres réels.
Union et intersection d'intervalles
Opérations sur les intervalles
L'union de deux intervalles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux).
Exemple : [1, 3] ∪ [2, 4] = [1, 4]
L'intersection de deux intervalles A et B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.
Exemple : [1, 3] ∩ [2, 4] = [2, 3]
Soit A = [0, 5] et B = ]2, 7[
A ∪ B = [0, 7[
A ∩ B = ]2, 5]
Applications concrètes
Utilisations pratiques
2 Fonctions : Domaine de définition
3 Statistiques : Classes d'observations
4 Analyse : Continuité et dérivabilité
Une pièce métallique a une longueur de 10 cm à ±0.2 cm près.
La longueur réelle est donc dans l'intervalle [9.8, 10.2].
Si la tolérance est stricte, on aurait ]9.8, 10.2[.
- Confondre intervalle ouvert et fermé
- Oublier de préciser si les bornes sont incluses ou non
- Ne pas respecter l'ordre des bornes (a ≤ b)
- Considérer que toute union d'intervalles est un intervalle
Exercices d'application
Mise en pratique
Traduire en notation d'intervalle : x est un nombre réel tel que -3 ≤ x < 5.
Représenter graphiquement l'intervalle ]-2, 4].
Soit A = [-1, 3] et B = ]1, 5[. Trouver A ∪ B et A ∩ B.
Solutions des exercices
Corrections détaillées
x est un nombre réel tel que -3 ≤ x < 5.
Donc x ∈ [-3, 5[ (semi-ouvert à droite).
]−2, 4] : segment de droite allant de -2 (non inclus, point ouvert) à 4 (inclus, point fermé).
A = [-1, 3] et B = ]1, 5[
A ∪ B = [-1, 5[ (tous les x tels que -1 ≤ x < 5)
A ∩ B = ]1, 3] (tous les x tels que 1 < x ≤ 3)
Résumé
Points clés
- Fermé [a, b] : a ≤ x ≤ b
- Ouvert ]a, b[ : a < x < b
- Semi-ouvert [a, b[ : a ≤ x < b
- Semi-ouvert ]a, b] : a < x ≤ b
- [a, +∞[ : x ≥ a
- ]a, +∞[ : x > a
- ]-∞, b] : x ≤ b
- ]-∞, b[ : x < b
- ]-∞, +∞[ = ℝ
- Union A ∪ B : éléments de A ou de B
- Intersection A ∩ B : éléments de A et de B
Conclusion
Félicitations !
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