Ensemble des Nombres Réels - Définition et Représentation
Introduction aux Nombres Réels
Découvrez comment les nombres réels s'organisent sur la droite graduée
Définition des nombres réels
Ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, comprend tous les nombres qui peuvent être représentés sur une droite graduée.
Cet ensemble contient :
- Les nombres rationnels (fractions)
- Les nombres irrationnels (comme √2, π)
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ ℝ
- ℕ : Entiers naturels (0, 1, 2, 3...)
- ℤ : Entiers relatifs (...-2, -1, 0, 1, 2...)
- D : Décimaux (nombre fini de chiffres après la virgule)
- ℚ : Rationnels (fractions)
- ℝ : Réels (tous les autres)
Différents types de nombres réels
Classification des réels
Sont rationnels les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction a/b où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
Exemples : 3/4, -2/7, 5 = 5/1, 0.25 = 1/4
Sont irrationnels les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction.
Exemples : √2 ≈ 1.414..., π ≈ 3.14159..., e ≈ 2.718...
Classons ces nombres : 3, -7, 2.5, √5, 0, -π, 4/3
- Entiers naturels : 3, 0
- Entiers relatifs : -7
- Rationnels : 2.5, 4/3
- Irrationnels : √5, -π
La droite graduée
Représentation des réels
Il existe une correspondance biunivoque entre l'ensemble des nombres réels et les points d'une droite.
Cela signifie que :
- A tout nombre réel correspond un point unique sur la droite
- A tout point de la droite correspond un nombre réel unique
- Origine O (représente le nombre 0)
- Sens positif (vers la droite)
- Unité de longueur (permet de graduer la droite)
Représentation de nombres sur la droite
Placement des nombres
Pour placer un entier positif n sur la droite graduée :
- Partir de l'origine O
- Se déplacer de n unités dans le sens positif (vers la droite)
Exemple : Placer 3 → aller 3 unités vers la droite
Pour placer un entier négatif -n sur la droite graduée :
- Partir de l'origine O
- Se déplacer de n unités dans le sens négatif (vers la gauche)
Exemple : Placer -2 → aller 2 unités vers la gauche
Les nombres décimaux sont placés proportionnellement.
Exemple : Pour placer 1.5, on va à mi-chemin entre 1 et 2.
Intervalles de ℝ
Sous-ensembles de ℝ
Un intervalle de ℝ est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes.
Notation : [a ; b] signifie "x tel que a ≤ x ≤ b"
[a ; b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
]a ; b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}
[a ; b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
]a ; b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Représentation graphique des intervalles
Visualisation sur la droite
- Point plein ● : la borne est incluse dans l'intervalle
- Point vide ○ : la borne n'est pas incluse dans l'intervalle
On place des points pleins aux abscisses 2 et 5, et on trace un segment entre ces deux points.
On place des points vides aux abscisses -3 et 1, et on trace un segment entre ces deux points.
Inégalités et ordre sur ℝ
Ordre sur les réels
Sur la droite graduée, si le point A a pour abscisse a et le point B a pour abscisse b :
- Si A est à gauche de B, alors a < b
- Si A est à droite de B, alors a > b
- Si A et B sont confondus, alors a = b
Soient a, b, c des réels :
- Si a < b, alors a + c < b + c (ajouter un même nombre ne change pas le sens)
- Si a < b et c > 0, alors ac < bc (multiplier par un nombre positif ne change pas le sens)
- Si a < b et c < 0, alors ac > bc (multiplier par un nombre négatif change le sens)
Valeur absolue d'un nombre réel
Distance à zéro
La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est sa distance à zéro sur la droite graduée.
Sur la droite graduée, |a| représente la distance du point d'abscisse a au point d'abscisse 0.
Plus généralement, |a - b| représente la distance entre les points d'abscisses a et b.
Exemples : |3| = 3, |-5| = 5, |2 - 7| = |-5| = 5
Exemples d'applications
Applications concrètes
Les températures peuvent être positives ou négatives, elles appartiennent à ℝ.
Exemple : Une température de -5°C est représentée par le point d'abscisse -5 sur la droite graduée.
Un solde positif indique un crédit, un solde négatif un découvert.
Exemple : Un solde de -200€ est inférieur à un solde de 50€.
Placer des encadrements sur la droite graduée aide à visualiser les solutions.
Exemple : Résoudre -2 ≤ x < 3 revient à chercher les points de la droite graduée situés entre -2 (inclus) et 3 (exclu).
Propriétés importantes des réels
Propriétés essentielles
Si a < b, alors il existe un réel c tel que a < c < b.
Par exemple, entre a et b, on peut prendre c = (a+b)/2.
Cette propriété montre que la droite graduée est "pleine", sans "trous".
Quels que soient les réels a et b, on a toujours : a < b ou a = b ou a > b
Cette propriété est dite "ordre total" car on peut toujours comparer deux réels.
Exercice d'application
Problème complet
Soit la droite graduée munie d'un repère (O, I) où O est l'origine et I le point d'abscisse 1.
1. Placer sur cette droite les points A, B, C, D d'abscisses respectives : -2.5, 3/2, √2, -π
2. Donner un encadrement de √2 à 0.1 près en utilisant la droite graduée.
3. Comparer les nombres √2 et 3/2.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
- A(-2.5) : point situé à 2.5 unités à gauche de l'origine
- B(3/2) = B(1.5) : point situé à 1.5 unité à droite de l'origine
- C(√2) ≈ C(1.414...) : point situé à environ 1.4 unités à droite de l'origine
- D(-π) ≈ D(-3.14...) : point situé à environ 3.1 unités à gauche de l'origine
Sur la droite graduée, √2 est situé entre 1.4 et 1.5.
√2 ≈ 1.414 et 3/2 = 1.5
Donc √2 < 3/2
Géométriquement : le point C(√2) est à gauche du point B(3/2).
Résumé
Points clés
- ℝ : ensemble des nombres réels
- Contient ℚ (rationnels) et ℝ\ℚ (irrationnels)
- Chaque réel correspond à un point unique sur la droite graduée
- [a ; b] : intervalle fermé
- ]a ; b[ : intervalle ouvert
- [a ; b[, ]a ; b] : intervalles semi-ouverts
- |x| = distance de x à 0
- |a - b| = distance entre a et b
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences