Voici les positions approximatives sur la droite graduée :
- -2,5 : à gauche de -2
- -1,5 : entre -2 et -1
- 0 : origine
- √2 ≈ 1,414 : entre 1 et 2
- 3 : à droite de 2
- π ≈ 3,14 : entre 3 et 4
Chaque nombre réel correspond à un point unique sur la droite graduée.
La droite graduée est une droite munie d'un repère (O, I) où O est l'origine (abscisse 0) et I est le point d'abscisse 1. Chaque nombre réel x correspond à un unique point M de la droite tel que OM = x × OI.
Il existe une bijection entre ℝ et la droite graduée : tout nombre réel a une unique abscisse sur la droite, et tout point de la droite a une unique abscisse réelle.
Pour comparer deux nombres réels, on peut les placer sur la droite graduée :
-3 et -2,5 : Sur la droite graduée, -3 est à gauche de -2,5, donc -3 < -2,5
1,2 et 1,25 : Sur la droite graduée, 1,2 est à gauche de 1,25, donc 1,2 < 1,25
-3 < -2,5 et 1,2 < 1,25
Pour comparer deux nombres, on peut :
- Les placer sur la droite graduée
- Calculer leur différence
- Convertir en fractions décimales
Sur la droite graduée, si le point A d'abscisse a est à gauche du point B d'abscisse b, alors a < b.
Sachant que 1² = 1 et 2² = 4, on a 1 < √3 < 2
De plus, 1,7² = 2,89 et 1,8² = 3,24, donc 1,7 < √3 < 1,8
Donc √3 ≈ 1,7 à 0,1 près
1,7 < √3 < 1,8, donc √3 ≈ 1,7 à 0,1 près
Un encadrement d'amplitude e d'un nombre x est une double inégalité a ≤ x ≤ b où b - a = e.
Pour encadrer un nombre irrationnel, on utilise des approximations successives par des nombres rationnels.
Convertir en valeurs approchées :
- -π ≈ -3,14
- -0,3 = -0,3
- 0 = 0
- 1/3 ≈ 0,333
- √5 ≈ 2,236
L'ordre croissant est : -π < -0,3 < 0 < 1/3 < √5
Pour classer plusieurs nombres :
- Les convertir en valeurs décimales
- Les placer sur la droite graduée
- Comparer les distances à zéro
Sur ℝ, l'ordre est total : pour tous a, b ∈ ℝ, on a a ≤ b ou b ≤ a.
On cherche à savoir si -√2 ∈ [-2 ; -1]
On sait que √2 ≈ 1,414, donc -√2 ≈ -1,414
Vérifions si -2 ≤ -√2 ≤ -1 :
-2 ≤ -1,414 ≤ -1 → VRAI
Oui, le point A d'abscisse -√2 appartient à l'intervalle [-2 ; -1].
L'intervalle [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.
Pour qu'un nombre x appartienne à l'intervalle [a ; b], il faut que a ≤ x ≤ b.
On cherche l'ensemble des réels x tels que -1,5 < x < 2,5
Cet ensemble est l'intervalle ouvert ]-1,5 ; 2,5[
L'intervalle est ]-1,5 ; 2,5[
Intervalle ouvert ]a ; b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b}
Intervalle fermé [a ; b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Les parenthèses indiquent que les bornes ne sont pas incluses, les crochets indiquent qu'elles le sont.
Partir de -2 et aller 3 unités vers la gauche signifie ajouter -3
Abscisse cherchée = -2 + (-3) = -2 - 3 = -5
L'abscisse est -5
Sur la droite graduée :
- Aller à droite = additionner
- Aller à gauche = soustraire
- Aller vers le haut = additionner
- Aller vers le bas = soustraire
Une translation de k unités sur la droite graduée correspond à l'addition de k à l'abscisse.
Si a < b, alors a + 2 < b + 2
Géométriquement : si A est à gauche de B sur la droite graduée, alors A' (image de A par translation de 2 unités vers la droite) est aussi à gauche de B' (image de B par la même translation).
On a toujours a + 2 < b + 2
L'addition conserve l'ordre sur ℝ : si a < b, alors a + c < b + c pour tout c ∈ ℝ.
Les opérations d'addition et de multiplication par un nombre positif conservent l'ordre. La multiplication par un nombre négatif inverse l'ordre.
Exemple : √2 est irrationnel car il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction de deux entiers.
On sait que √2 ≈ 1,41421356237...
Ce nombre a une infinité de décimales non périodiques.
On peut approcher √2 par des rationnels mais jamais l'atteindre exactement.
√2 est un exemple de nombre irrationnel qui ne peut pas être placé exactement sur la droite graduée, mais seulement approximativement.
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qui ne peut pas s'écrire sous la forme a/b où a, b ∈ ℤ et b ≠ 0.
L'ensemble ℝ contient à la fois des nombres rationnels (ℚ) et des nombres irrationnels. Tous peuvent être représentés sur la droite graduée.
La droite graduée représente ℝ parfaitement car :
- À chaque point de la droite correspond un unique nombre réel (son abscisse)
- À chaque nombre réel correspond un unique point de la droite
- Il n'y a aucun "trou" dans la droite graduée
- L'ordre sur ℝ correspond à l'ordre "gauche-droite" sur la droite
La droite graduée est une représentation géométrique de ℝ grâce à la bijection entre les points de la droite et les nombres réels.
ℝ est un corps totalement ordonné archimédien complet. Cela signifie qu'il n'y a pas de "trous" dans ℝ, contrairement à ℚ.
La complétude de ℝ garantit que la droite graduée est continue, sans interruption, ce qui permet de représenter tous les nombres réels.
