Définition
Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires si :
\( \vec{v} = k\vec{u} \) avec \( k \in \mathbb{R} \)
Ou : \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \)
\( \vec{v} = k\vec{u} \) avec \( k \in \mathbb{R} \)
Ou : \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \)
Même direction
Proportionnalité des composantes
L'un est multiple de l'autre
Relation de dépendance linéaire
Critère algébrique
Soit \( \vec{u}(x_u; y_u) \) et \( \vec{v}(x_v; y_v) \) :
\( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires \( \Leftrightarrow x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
\( \Leftrightarrow x_u \cdot y_v = x_v \cdot y_u \)
\( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires \( \Leftrightarrow x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \)
\( \Leftrightarrow x_u \cdot y_v = x_v \cdot y_u \)
Produit en croix
Test de proportionnalité
Déterminant nul
Méthode systématique
Exemples & Applications
\( \vec{u}(2,4) \)
et \( \vec{v}(1,2) \)
Colinéaires
k = 2
\( \vec{u}(1,3) \)
et \( \vec{v}(2,5) \)
Non colinéaires
det ≠ 0
\( \vec{u}(0,0) \)
colinéaire à tout vecteur
Alignement
de points
La colinéarité implique la même direction
Test par produit en croix
Utile pour démontrer l'alignement
Fondamental en géométrie analytique
Astuce : Pour tester la colinéarité, utilisez le déterminant : \( x_u \cdot y_v - x_v \cdot y_u = 0 \).
