Multiplication par un réel
Soit \( k \in \mathbb{R} \) et \( \vec{u} \) un vecteur :
\( k\vec{u} \) a la même direction que \( \vec{u} \)
Même sens si \( k > 0 \), sens opposé si \( k < 0 \)
Norme : \( ||k\vec{u}|| = |k| \cdot ||\vec{u}|| \)
\( k\vec{u} \) a la même direction que \( \vec{u} \)
Même sens si \( k > 0 \), sens opposé si \( k < 0 \)
Norme : \( ||k\vec{u}|| = |k| \cdot ||\vec{u}|| \)
Même direction que \( \vec{u} \)
Sens dépend du signe de k
Norme multipliée par |k|
Colinéarité : \( \vec{v} = k\vec{u} \)
Cas particuliers
\( k = 0 \Rightarrow k\vec{u} = \vec{0} \)
\( k = 1 \Rightarrow k\vec{u} = \vec{u} \)
\( k = -1 \Rightarrow k\vec{u} = -\vec{u} \)
\( k = 2 \Rightarrow k\vec{u} \) double de \( \vec{u} \)
\( k = 1 \Rightarrow k\vec{u} = \vec{u} \)
\( k = -1 \Rightarrow k\vec{u} = -\vec{u} \)
\( k = 2 \Rightarrow k\vec{u} \) double de \( \vec{u} \)
k = 0 : vecteur nul
k = 1 : vecteur inchangé
k = -1 : vecteur opposé
k > 1 : agrandissement
Exemples & Applications
\( 2\vec{u} \)
Double
\( \frac{1}{2}\vec{u} \)
Moitié
\( -\vec{u} \)
Opposé
\( 0\vec{u} = \vec{0} \)
Nul
\( 3\vec{u} \)
Triple
\( -2\vec{u} \)
Double opposé
Multiplication par k modifie la norme
Si k > 0, sens conservé
Si k < 0, sens inversé
Deux vecteurs colinéaires : \( \vec{v} = k\vec{u} \)
Astuce : Multiplier par k > 1 agrandit, k < 1 réduit, k < 0 inverse le sens.
