Définitions & Formules
\( \min/\max f(x) \)
Optimisation d'une fonction objectif
Fonction objectif : f(x)
Variable de décision : x
Contraintes : g(x) ≤ 0
Domaine admissible : X
\( \nabla f(x) = 0 \)
Condition d'optimalité (gradient nul)
Exemple simple
Minimiser f(x) = x² - 4x + 3
Solution : x* = 2 (minimum global)
f(2) = -1
Solution : x* = 2 (minimum global)
f(2) = -1
Méthodes d'Optimisation
1
Identification
Définir la fonction objectif
Définir la fonction objectif
2
Contraintes
Identifier les limitations
Identifier les limitations
3
Calcul
Méthode analytique ou numérique
Méthode analytique ou numérique
4
Validation
Vérifier l'optimalité
Vérifier l'optimalité
Algorithmes simples
Descente de gradient
Recherche linéaire
Méthode de Newton
Méthode du simplexe
Applications Pratiques
Minimisation coût
Coût total = Coût matière + Coût fabrication
Minimiser C(x) = ax² + bx + c
x* = -b/(2a)
Minimiser C(x) = ax² + bx + c
x* = -b/(2a)
Maximisation rendement
Rendement = Puissance utile / Puissance absorbée
Maximiser η(P) = P_u/P_a
Condition : dη/dP = 0
Maximiser η(P) = P_u/P_a
Condition : dη/dP = 0
Optimisation géométrique
Rectangle de surface max
Périmètre fixe P = 2(l + L)
S = l × L → max
Périmètre fixe P = 2(l + L)
S = l × L → max
Système mécanique
Minimiser le poids d'une structure
Sous contrainte de résistance
Min w(A) s.t. σ ≤ σ_max
Sous contrainte de résistance
Min w(A) s.t. σ ≤ σ_max
Critères d'optimalité
Condition nécessaire : ∇f(x*) = 0
Condition suffisante : H(f)(x*) > 0
Point critique : minimum local/global
Astuces & Conseils
Identifier la variable à optimiser
Tracer la fonction pour visualiser
Vérifier les conditions aux limites
Analyser les compromis
Valider la solution obtenue
Itérer si besoin
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre maximum et minimum
Erreur 2 :
Oublier les contraintes
Erreur 3 :
Ne pas vérifier la nature du point critique
Erreur 4 :
Appliquer des méthodes hors de leur domaine de validité
\( \text{Optimisation} = \arg\min_x f(x) \text{ s.t. } g_i(x) \leq 0, h_j(x) = 0 \)
