Stockage d'énergie
Exercices corrigés

Batterie lithium-ion : tension nominale U = 3.7 V

Capacité : Q = 3000 mA·h = 3 A·h

Courant de décharge : I = 1.5 A

Temps de décharge : t = 2 heures

Rendement global : η = 90%

Énergie théorique : \( E_{théorique} = U \times Q \)

\( E_{théorique} = 3.7 \text{ V} \times 3 \text{ A·h} = 11.1 \text{ Wh} \)

En joules : \( E_{théorique} = 11.1 \text{ Wh} \times 3600 \text{ s/h} = 39,960 \text{ J} \)

Énergie utile : \( E_{utile} = E_{théorique} \times \eta \)

\( E_{utile} = 11.1 \text{ Wh} \times 0.90 = 9.99 \text{ Wh} \)

Masse de la batterie : m = 200 g = 0.2 kg

Densité énergétique : \( \rho_E = \frac{E_{utile}}{m} = \frac{9.99 \text{ Wh}}{0.2 \text{ kg}} = 49.95 \text{ Wh/kg} \)

La batterie peut stocker 11.1 Wh d'énergie théorique

Avec un rendement de 90%, elle fournit 9.99 Wh d'énergie utile

La densité énergétique est de 49.95 Wh/kg

Batterie lithium-ion :

• Énergie : E_bat = 50 Wh
• Puissance : P_bat = 100 W
• Masse : m_bat = 0.5 kg

Supercondensateur :

• Capacité : C = 3000 F
• Tension : U = 2.7 V
• Masse : m_sup = 0.1 kg

\( E_{sup} = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \times 3000 \times (2.7)^2 \)

\( E_{sup} = 0.5 \times 3000 \times 7.29 = 10,935 \text{ J} = 3.04 \text{ Wh} \)

Pour la batterie :

Énergie spécifique : \( E_{s,bat} = \frac{E_{bat}}{m_{bat}} = \frac{50}{0.5} = 100 \text{ Wh/kg} \)

Puissance spécifique : \( P_{s,bat} = \frac{P_{bat}}{m_{bat}} = \frac{100}{0.5} = 200 \text{ W/kg} \)

Pour le supercondensateur :

Énergie spécifique : \( E_{s,sup} = \frac{E_{sup}}{m_{sup}} = \frac{3.04}{0.1} = 30.4 \text{ Wh/kg} \)

Puissance spécifique : \( P_{s,sup} = \frac{P_{sup}}{m_{sup}} = \frac{100}{0.1} = 1000 \text{ W/kg} \)

Batterie :

• Énergie spécifique élevée : 100 Wh/kg
• Puissance spécifique modérée : 200 W/kg
• Idéale pour stockage à long terme

Supercondensateur :

• Énergie spécifique faible : 30.4 Wh/kg
• Puissance spécifique élevée : 1000 W/kg
• Idéal pour applications de puissance

Pour une application nécessitant 500 W pendant 10 secondes :

Énergie requise : \( E = P \times t = 500 \times 10 = 5000 \text{ J} = 1.39 \text{ Wh} \)

La batterie pourrait fournir cette puissance mais avec une décharge rapide

Le supercondensateur est mieux adapté pour cette application de courte durée et haute puissance

Volant cylindrique : diamètre D = 0.8 m → rayon r = 0.4 m

Masse : m = 200 kg

Vitesse de rotation : f = 6000 tr/min = 100 Hz

Vitesse angulaire : \( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 100 = 628.3 \text{ rad/s} \)

Pour un cylindre solide : \( I = \frac{1}{2} m r^2 \)

\( I = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.4)^2 = 0.5 \times 200 \times 0.16 = 16 \text{ kg·m²} \)

\( E = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \times 16 \times (628.3)^2 \)

\( E = 0.5 \times 16 \times 394,784.9 = 3,158,279.2 \text{ J} = 3.16 \text{ MJ} \)

Masse du volant : m = 200 kg

Densité énergétique : \( \rho_E = \frac{E}{m} = \frac{3,158,279}{200} = 15,791 \text{ J/kg} = 4.39 \text{ Wh/kg} \)

Avantages :

• Cycles de charge/décharge rapides
• Durée de vie longue
• Haute puissance spécifique

Inconvénients :

• Faible densité énergétique
• Perte par frottement
• Contraintes mécaniques élevées

Le volant d'inertie stocke 3.16 MJ d'énergie

Il peut fournir cette énergie en quelques secondes

Idéal pour des applications de puissance de courte durée

Utilisé dans les systèmes UPS, les trains à inertie, les véhicules hybrides

Réservoir supérieur : volume V = 1 million m³

Dénivelé : h = 300 m

Densité de l'eau : ρ = 1000 kg/m³

Rendement pompe : η_p = 85% = 0.85

Rendement turbine : η_t = 90% = 0.90

Rendement global : η = 0.85 × 0.90 = 0.765 = 76.5%

\( m = \rho \times V = 1000 \times 1,000,000 = 1,000,000,000 \text{ kg} \)

\( E_{pot} = m \times g \times h = 1,000,000,000 \times 9.81 \times 300 \)

\( E_{pot} = 2,943,000,000,000 \text{ J} = 2.94 \text{ TJ} \)

En kWh : \( E_{pot} = \frac{2.94 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} = 817,500 \text{ MWh} \)

\( E_{récup} = E_{pot} \times \eta = 817,500 \times 0.765 = 625,387 \text{ MWh} \)

Avantages :

• Grande capacité de stockage
• Longue durée de vie
• Flexibilité d'utilisation

Inconvénients :

• Nécessite des conditions géographiques spécifiques
• Impact environnemental
• Rendement limité

La station peut alimenter environ 82,000 foyers pendant un mois

Elle permet de stocker l'énergie excédentaire des énergies renouvelables

Utilisation en base ou en pointe selon les besoins du réseau

Réservoir : volume V = 1000 m³

Pression initiale : P₁ = 1 bar = 100,000 Pa

Pression finale : P₂ = 100 bar = 10,000,000 Pa

Température initiale : T = 20°C = 293 K

Indice adiabatique : γ = 1.4 pour l'air

Rendement global : η = 70% = 0.70

Pour une compression isotherme (cas idéal) : \( E_{iso} = P_1 V \ln(\frac{P_2}{P_1}) \)

\( E_{iso} = 100,000 \times 1000 \times \ln(\frac{10,000,000}{100,000}) \)

\( E_{iso} = 100,000,000 \times \ln(100) = 100,000,000 \times 4.605 = 460,500,000 \text{ J} = 460.5 \text{ MJ} \)

\( E_{adiab} = \frac{P_1 V}{\gamma-1}(1-(\frac{P_1}{P_2})^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}) \)

\( \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.4-1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = 0.2857 \)

\( (\frac{P_1}{P_2})^{0.2857} = (\frac{1}{100})^{0.2857} = 0.1^{0.2857} = 0.518 \)

\( E_{adiab} = \frac{100,000 \times 1000}{0.4}(1-0.518) = 250,000,000 \times 0.482 = 120,500,000 \text{ J} = 120.5 \text{ MJ} \)

\( E_{récup} = E_{adiab} \times \eta = 120.5 \times 0.70 = 84.35 \text{ MJ} \)

Avantages :

• Longue durée de vie
• Grandes capacités de stockage
• Technologie mature

Inconvénients :

• Faible densité énergétique
• Pertes thermiques
• Nécessite infrastructure souterraine

Le stockage par air comprimé est utilisé dans des installations comme celle de Huntorf (Allemagne)

Capacité typique : 300-1000 MWh

Puissance : 60-300 MW

Durée de décharge : 2-40 heures selon l'application