Opérateur ET (AND) : Produit logique qui retourne 1 seulement si toutes les entrées sont à 1.
- Identifier le symbole et l'expression algébrique
- Construire la table de vérité complète
- Analyser les propriétés (commutativité, associativité)
- Identifier les applications et particularités
| A | B | A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
A·B ou A∧B
Porte AND avec cercle de sortie
Commutatif, Associatif, Distributif
A·1 = A, A·0 = 0
La sortie est 1 uniquement quand A=1 ET B=1
A·B = B·A (commutativité), A·(B·C) = (A·B)·C (associativité)
Utilisé pour les conditions multiples, les masques binaires
Opérateur ET : A·B
Sortie = 1 seulement si toutes les entrées = 1
Propriétés : Commutatif, Associatif, Distributif
Éléments neutres : A·1 = A, A·0 = 0
• Condition stricte : Toutes les entrées doivent être à 1
• Propriétés algébriques : Permettent la simplification
• Applications : Masquage, conditions multiples
Opérateur OU (OR) : Somme logique qui retourne 1 si au moins une entrée est à 1.
| A | B | A+B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
A+B ou A∨B
Porte OR avec cercle de sortie
Commutatif, Associatif, Distributif
A+0 = A, A+1 = 1
La sortie est 1 dès qu'une entrée est à 1
A+B = B+A (commutativité), A+(B+C) = (A+B)+C (associativité)
Utilisé pour les conditions alternatives, les unions logiques
Opérateur OU : A+B
Sortie = 1 si au moins une entrée = 1
Propriétés : Commutatif, Associatif, Distributif
Éléments neutres : A+0 = A, A+1 = 1
• Condition large : Une seule entrée à 1 suffit
• Propriétés algébriques : Similaires à celles de l'ET
• Applications : Conditions alternatives, unions
Opérateur NON (NOT) : Inverseur qui retourne l'inverse de l'entrée.
Porte NAND : NON-ET, inverse de l'opérateur ET.
Porte NOR : NON-OU, inverse de l'opérateur OU.
| A | Ā | A·B | ¬(A·B) | A+B | ¬(A+B) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Ā = ¬A
¬(A·B) = A↑B
¬(A+B) = A↓B
NAND et NOR sont universels
Retourne l'inverse de l'entrée (0↔1)
Inverse de l'opérateur ET (1 sauf si A=1 et B=1)
Inverse de l'opérateur OU (1 seulement si A=0 et B=0)
NON (NOT) : Ā, inverse l'entrée
NAND : ¬(A·B), inverse de l'ET
NOR : ¬(A+B), inverse de l'OU
NAND et NOR sont des opérateurs complets/universels
• Universels : NAND et NOR peuvent créer tous les autres opérateurs
• Inversion : NAND et NOR sont des inverses des opérateurs de base
• Applications : Simplification de circuits logiques
Opérateur XOR (OU exclusif) : Retourne 1 si les entrées sont différentes.
Opérateur XNOR (NON OU exclusif) : Retourne 1 si les entrées sont identiques.
| A | B | A⊕B | ¬(A⊕B) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
A⊕B = A·¬B + ¬A·B
¬(A⊕B) = A·B + ¬A·¬B
Commutatif, Associatif, A⊕0=A, A⊕1=¬A
Comparaison, détection de changement, cryptographie
Sortie = 1 si les entrées sont différentes
Sortie = 1 si les entrées sont identiques
XOR est sa propre inverse (A⊕B⊕B = A)
XOR (OU exclusif) : A⊕B = 1 si les entrées sont différentes
XNOR (NON OU exclusif) : ¬(A⊕B) = 1 si les entrées sont identiques
Propriétés : A⊕0=A, A⊕1=¬A, A⊕A=0
Applications : Comparaison, détection de changement, cryptographie
• Différence : XOR détecte les différences entre entrées
• Identité : XNOR détecte l'égalité entre entrées
• Cryptographie : XOR est utilisé dans les algorithmes simples
Théorèmes de De Morgan : Lois fondamentales de l'algèbre de Boole.
\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\) et \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\) (NAND = inverse des inverses)
\(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) (NOR = produit des inverses)
Exemple : \(\overline{A \cdot B + C} = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{C} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot \overline{C}\)
\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
\(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
\(\overline{A_1 \cdot A_2 \cdots A_n} = \overline{A_1} + \overline{A_2} + \cdots + \overline{A_n}\)
Simplification, transformation de circuits
Par exemple : \(\overline{A \cdot B + C \cdot D}\)
\(\overline{A \cdot B + C \cdot D} = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{C \cdot D}\)
\(\overline{A \cdot B} \cdot \overline{C \cdot D} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (\overline{C} + \overline{D})\)
Théorème 1 : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
Théorème 2 : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
Simplification : Transforme les expressions complexes
Applications : Réduction de circuits logiques
• Transformation : Convertit ET en OU et vice versa
• Simplification : Utile pour réduire la complexité des circuits
• Universalité : Permet d'exprimer toute fonction avec un seul type de porte
- Commutativité : A·B = B·A, A+B = B+A
- Associativité : A·(B·C) = (A·B)·C, A+(B+C) = (A+B)+C
- Distributivité : A·(B+C) = A·B + A·C, A+(B·C) = (A+B)·(A+C)
- Éléments neutres : A·1 = A, A+0 = A
- Éléments absorbants : A·0 = 0, A+1 = 1
- Les opérateurs logiques sont la base de l'algèbre de Boole
- La table de vérité montre toutes les combinaisons possibles
- Les théorèmes de De Morgan sont essentiels pour la simplification
- NAND et NOR sont des opérateurs complets (universels)
- XOR est particulièrement utile pour les comparaisons
- ET (AND) : Conditions multiples, masquage binaire
- OU (OR) : Conditions alternatives, union logique
- NON (NOT) : Inversion, négation logique
- XOR : Comparaison, cryptographie, détection d'erreurs
- NAND/NOR : Circuits logiques universels
- Loi d'absorption : A + A·B = A, A·(A + B) = A
- Loi d'idempotence : A·A = A, A+A = A
- Loi de complément : A·Ā = 0, A+Ā = 1
- Loi d'involution : Ā = A
- Théorèmes de De Morgan : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\), \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
