Système binaire : Système de numération en base 2 qui n'utilise que les chiffres 0 et 1.
- Diviser successivement le nombre par 2
- Noter les restes (0 ou 1) de chaque division
- Le résultat binaire est constitué des restes lus de bas en haut
- Vérifier en effectuant la conversion inverse
\(25 \div 2 = 12\) reste 1
\(12 \div 2 = 6\) reste 0
\(6 \div 2 = 3\) reste 0
\(3 \div 2 = 1\) reste 1
\(1 \div 2 = 0\) reste 1
Résultat : \(25_{10} = 11001_2\)
Diviser par 2 jusqu'à quotient nul
\(1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25\)
Chaque position correspond à une puissance de 2
\(N = \sum_{i=0}^{n-1} b_i \times 2^i\)
25 ÷ 2 = 12 reste 1
12 ÷ 2 = 6 reste 0
6 ÷ 2 = 3 reste 0 → 3 ÷ 2 = 1 reste 1 → 1 ÷ 2 = 0 reste 1
\(25_{10} = 11001_2\)
| Puissance de 2 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| Bits | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
• Reste impair : Correspond à un bit 1
• Reste pair : Correspond à un bit 0
• Ordre des bits : Du poids faible au poids fort
Addition binaire : Opération arithmétique sur des nombres binaires avec report.
Alignement des nombres par la droite
Opération colonne par colonne de droite à gauche
Report de 1 si somme ≥ 2
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (report de 1)
Similaire à l'addition avec emprunt
Plus simple que la décimale (0×0=0, 0×1=0, 1×1=1)
Basée sur des soustractions successives
\(\begin{array}{r} 1011 \\ +1101 \\ \hline \end{array}\)
Colonne 1 : 1+1=10 → 0, report 1
Colonne 2 : 1+0+1=10 → 0, report 1
Colonne 3 : 0+1+1=10 → 0, report 1
Colonne 4 : 1+1+1=11 → 1, report 1
\(\begin{array}{r} 1011 \\ +1101 \\ \hline 11000 \\ \end{array}\)
\(1011_2 + 1101_2 = 11000_2\)
Vérification : \(11_{10} + 13_{10} = 24_{10} = 11000_2\)
• Report : Se produit lorsque la somme ≥ 2
• Emprunt : Similaire au système décimal
• Vérification : Convertir en décimal pour confirmer
Complément à 1 : Inversion de tous les bits (0→1, 1→0)
Complément à 2 : Complément à 1 + 1 (représentation des nombres négatifs)
Complément à 1 : Inverser tous les bits → 0100
Complément à 2 : Complément à 1 + 1 → 0100 + 1 = 0101
\(C_1(N) = 2^n - 1 - N\) (n = nombre de bits)
\(C_2(N) = 2^n - N\) (n = nombre de bits)
Bit de poids fort = 0 (positif), 1 (négatif)
n bits : \([-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]\)
Inverser chaque bit : 1011 → 0100
Ajouter 1 au complément à 1 : 0100 + 1 = 0101
\(A - B = A + C_2(B)\) (en complément à 2)
Complément à 1 : 0100
Complément à 2 : 0101
Utilisation pour représenter les nombres négatifs
• Complément à 1 : Simple inversion des bits
• Complément à 2 : Utilisé pour représenter les négatifs
• Soustraction : Transformation en addition avec complément
Base 8 (octal) : Utilise les chiffres 0 à 7.
Base 16 (hexadécimal) : Utilise 0-9 et A-F (10-15).
Regrouper les bits par groupes de 4 à partir de la droite
Convertir chaque groupe en un chiffre hexadécimal
Regroupement par 3 bits (111 = 7)
Regroupement par 4 bits (1111 = F)
Chaque chiffre → 4 bits (A = 1010)
Chaque chiffre → 3 bits (7 = 111)
10110111 → 1011 0111
1011 = 8 + 2 + 1 = 11 = B
0111 = 4 + 2 + 1 = 7 = 7
\(10110111_2 = B7_{16}\)
\(10110111_2 = B7_{16}\)
\(10110111_2 = 267_8\)
Vérification : \(183_{10} = B7_{16}\)
• Hexadécimal : Très utilisé en informatique (adresse mémoire)
• Regroupement : Toujours à partir de la droite
• Complétion : Ajouter des zéros à gauche si nécessaire
Représentation signée : Méthode pour coder des nombres positifs et négatifs.
Complément à 2 : Méthode la plus courante en informatique.
Plage : \([-128, +127]\)
Bit de signe : MSB (0=positif, 1=négatif)
0 positif : 00000000, 0 négatif : 00000000
1 bit pour le signe, n-1 pour la valeur
Inversion de tous les bits pour les négatifs
Complément à 1 + 1 (standard industriel)
Valeur biaisée pour éviter les signes
\(+25 = 00011001_2\) (bit de signe 0)
+25 = 00011001 → Complément à 1 : 11100110 → +1 : 11100111
\(11100111 = -128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1 = -25\)
Sur 8 bits : +25 = 00011001, -25 = 11100111
Plage de valeurs : [-128, +127]
Le complément à 2 est la méthode standard
• Complément à 2 : Unique représentation du zéro
• Extension de signe : Répétition du bit de signe pour agrandir
• Dépassement : Vérifier si résultat hors plage
- Décimal vers binaire : Divisions successives par 2
- Binaire vers décimal : Somme des puissances de 2
- Binaire vers octal : Regroupement par 3 bits
- Binaire vers hexadécimal : Regroupement par 4 bits
- Hexadécimal vers binaire : Chaque chiffre → 4 bits
- Le système binaire est fondamental en informatique car les circuits digitaux traitent des signaux binaires
- Le complément à 2 est la méthode standard pour représenter les nombres signés
- Le bit de poids fort (MSB) détermine le signe dans la représentation signée
- Les erreurs de dépassement se produisent lorsque le résultat est hors plage
- Les opérations binaires sont la base de l'arithmétique des processeurs
- Bit : 0 ou 1
- Octet (Byte) : 8 bits
- Kilo-octet (KB) : 1024 octets (2^10)
- Méga-octet (MB) : 1024 KB (2^20)
- Giga-octet (GB) : 1024 MB (2^30)
- ET (AND) : Résultat 1 seulement si tous les bits sont 1
- OU (OR) : Résultat 1 si au moins un bit est 1
- OU exclusif (XOR) : Résultat 1 si les bits sont différents
- Décalage gauche : Multiplier par 2 (ajouter un 0 à droite)
- Décalage droite : Diviser par 2 (enlever le bit de droite)
