Incertitude composée : Pour une fonction de plusieurs variables mesurées avec incertitude.
- Identifier la fonction reliant les grandeurs mesurées
- Calculer les dérivées partielles
- Appliquer la formule de propagation des incertitudes
- Calculer l'incertitude relative
L = 10.0 ± 0.1 cm → u(L) = 0.1 cm
l = 5.0 ± 0.1 cm → u(l) = 0.1 cm
S = L × l = 10.0 × 5.0 = 50.0 cm²
∂S/∂L = l = 5.0
∂S/∂l = L = 10.0
\(u_c(S) = \sqrt{\left(\frac{\partial S}{\partial L}\right)^2 u^2(L) + \left(\frac{\partial S}{\partial l}\right)^2 u^2(l)}\)
\(u_c(S) = \sqrt{(5.0)^2 \times (0.1)^2 + (10.0)^2 \times (0.1)^2}\)
\(u_c(S) = \sqrt{25 \times 0.01 + 100 \times 0.01} = \sqrt{0.25 + 1.0} = \sqrt{1.25} = 1.12 \text{ cm}^2\)
\(u_r(S) = \frac{u_c(S)}{S} = \frac{1.12}{50.0} = 0.0224 = 2.24\%\)
La surface du rectangle est de 50.0 ± 1.1 cm² avec une incertitude relative de 2.2%.
• Propagation quadratique : On additionne les contributions au carré
• Dérivées partielles : Taux de variation de la fonction par rapport à chaque variable
• Incertitude relative : Utile pour comparer la précision des mesures
Vitesse moyenne : \(v = \frac{d}{t}\) où d est la distance parcourue et t le temps écoulé.
d = 100.0 ± 0.5 m → u(d) = 0.5 m
t = 10.0 ± 0.2 s → u(t) = 0.2 s
v = d/t = 100.0/10.0 = 10.0 m/s
∂v/∂d = 1/t = 1/10.0 = 0.1
∂v/∂t = -d/t² = -100.0/(10.0)² = -1.0
\(u_c(v) = \sqrt{\left(\frac{\partial v}{\partial d}\right)^2 u^2(d) + \left(\frac{\partial v}{\partial t}\right)^2 u^2(t)}\)
\(u_c(v) = \sqrt{(0.1)^2 \times (0.5)^2 + (-1.0)^2 \times (0.2)^2}\)
\(u_c(v) = \sqrt{0.01 \times 0.25 + 1.0 \times 0.04} = \sqrt{0.0025 + 0.04} = \sqrt{0.0425} = 0.206 \text{ m/s}\)
\(u_r(v) = \frac{u_c(v)}{v} = \frac{0.206}{10.0} = 0.0206 = 2.06\%\)
La vitesse moyenne est de 10.0 ± 0.2 m/s avec une incertitude relative de 2.1%.
• Dérivée d'un quotient : ∂(x/y)/∂x = 1/y et ∂(x/y)/∂y = -x/y²
• Signe négatif : La vitesse diminue quand le temps augmente
• Pas d'unités dans les incertitudes relatives : C'est un nombre sans dimension
Densité : \(ρ = \frac{m}{V}\) où m est la masse et V le volume.
m = 50.0 ± 0.2 g → u(m) = 0.2 g
V = 20.0 ± 0.5 cm³ → u(V) = 0.5 cm³
ρ = m/V = 50.0/20.0 = 2.5 g/cm³
∂ρ/∂m = 1/V = 1/20.0 = 0.05
∂ρ/∂V = -m/V² = -50.0/(20.0)² = -0.125
\(u_c(ρ) = \sqrt{\left(\frac{\partial ρ}{\partial m}\right)^2 u^2(m) + \left(\frac{\partial ρ}{\partial V}\right)^2 u^2(V)}\)
\(u_c(ρ) = \sqrt{(0.05)^2 \times (0.2)^2 + (-0.125)^2 \times (0.5)^2}\)
\(u_c(ρ) = \sqrt{0.0025 \times 0.04 + 0.015625 \times 0.25} = \sqrt{0.0001 + 0.00390625} = \sqrt{0.00400625} = 0.063 \text{ g/cm}^3\)
\(u_r(ρ) = \frac{u_c(ρ)}{ρ} = \frac{0.063}{2.5} = 0.0252 = 2.52\%\)
La densité de l'objet est de 2.50 ± 0.06 g/cm³ avec une incertitude relative de 2.5%.
• Principe de propagation : L'incertitude sur le quotient dépend des deux variables
• Unités cohérentes : Les unités doivent être conservées dans les calculs
• Arrondi approprié : L'incertitude est arrondie à 1 chiffre significatif
Puissance électrique : \(P = \frac{U^2}{R}\) où U est la tension et R la résistance.
U = 12.0 ± 0.1 V → u(U) = 0.1 V
R = 100.0 ± 0.5 Ω → u(R) = 0.5 Ω
P = U²/R = (12.0)²/100.0 = 144.0/100.0 = 1.44 W
∂P/∂U = 2U/R = 2×12.0/100.0 = 0.24
∂P/∂R = -U²/R² = -(12.0)²/(100.0)² = -144.0/10000.0 = -0.0144
\(u_c(P) = \sqrt{\left(\frac{\partial P}{\partial U}\right)^2 u^2(U) + \left(\frac{\partial P}{\partial R}\right)^2 u^2(R)}\)
\(u_c(P) = \sqrt{(0.24)^2 \times (0.1)^2 + (-0.0144)^2 \times (0.5)^2}\)
\(u_c(P) = \sqrt{0.0576 \times 0.01 + 0.00020736 \times 0.25} = \sqrt{0.000576 + 0.00005184} = \sqrt{0.00062784} = 0.025 \text{ W}\)
\(u_r(P) = \frac{u_c(P)}{P} = \frac{0.025}{1.44} = 0.0174 = 1.74\%\)
La puissance dissipée est de 1.44 ± 0.03 W avec une incertitude relative de 1.7%.
• Fonction puissance carrée : La dérivée de U² est 2U
• Quotient de fonctions : ∂(f/g)/∂x = (∂f/∂x × g - f × ∂g/∂x)/g²
• Puissance de tension : L'incertitude sur U² est amplifiée par un facteur 2
Volume d'une sphère : \(V = \frac{4}{3}πr^3\) où r est le rayon.
r = 3.00 ± 0.05 cm → u(r) = 0.05 cm
V = (4/3)πr³ = (4/3)π(3.00)³ = (4/3)π × 27.0 = 36π ≈ 113.1 cm³
∂V/∂r = 4πr² = 4π(3.00)² = 4π × 9.00 = 36π ≈ 113.1
\(u_c(V) = \left|\frac{\partial V}{\partial r}\right| u(r) = |36π| \times 0.05\)
\(u_c(V) = 113.1 \times 0.05 = 5.66 \text{ cm}^3\)
\(u_r(V) = \frac{u_c(V)}{V} = \frac{5.66}{113.1} = 0.050 = 5.0\%\)
Pour une grandeur proportionnelle à rⁿ, l'incertitude relative est multipliée par n.
Ici, V ∝ r³, donc u_r(V) = 3 × u_r(r) = 3 × (0.05/3.00) = 3 × 0.0167 = 0.050 = 5.0%
Le volume de la sphère est de 113 ± 6 cm³ avec une incertitude relative de 5.0%.
• Fonction puissance cubique : L'incertitude relative est multipliée par 3
• Amplification critique : Les dimensions élevées amplifient fortement les incertitudes
• Constantes : π est une constante exacte, elle n'affecte pas l'incertitude
- Méthode de propagation : \(u_c(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i)}\)
- Combinaisons linéaires : \(y = ax_1 + bx_2 \Rightarrow u_c(y) = \sqrt{a^2u^2(x_1) + b^2u^2(x_2)}\)
- Produits et quotients : \(u_r(y) = \sqrt{u_r^2(x_1) + u_r^2(x_2)}\) pour \(y = x_1 \times x_2\)
- Puissances : \(y = x^n \Rightarrow u_r(y) = |n| \times u_r(x)\)
- L'incertitude composée est toujours supérieure ou égale à la plus grande contribution individuelle
- Les incertitudes s'additionnent quadratiquement pour éviter les compensations
- Les constantes exactes n'ont pas d'incertitude mais influencent le calcul
- Le nombre de chiffres significatifs de l'incertitude détermine la précision du résultat
