Méthode des moindres carrés : Technique mathématique qui minimise la somme des carrés des écarts entre les points expérimentaux et la droite d'ajustement
- Minimiser la somme des carrés des écarts
- Obtenir la droite y = ax + b qui ajuste au mieux les données
- Calculer les coefficients a (pente) et b (ordonnée à l'origine)
- Évaluer la qualité de l'ajustement
Minimiser la fonction : \(S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - ax_i - b)^2\)
Où (x_i, y_i) sont les points expérimentaux
Soit les points (x_i, y_i) : (1, 2.1), (2, 3.9), (3, 6.2), (4, 7.8), (5, 10.1)
Calculer les sommes nécessaires pour les formules
\(\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\)
\(\bar{y} = \frac{2.1+3.9+6.2+7.8+10.1}{5} = 6.02\)
\(\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = (-2)(-3.92) + (-1)(-2.12) + (0)(0.18) + (1)(1.78) + (2)(4.08) = 19.9\)
\(\sum(x_i-\bar{x})^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 10\)
\(a = \frac{19.9}{10} = 1.99\)
\(b = 6.02 - 1.99 \times 3 = 0.05\)
La droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés est : y = 1.99x + 0.05
• Minimisation : La droite minimise la somme des carrés des écarts verticaux
• Calcul : Utiliser les formules avec les moyennes des variables
• Précision : Plus de points donnent une meilleure précision
Coefficients a et b : Paramètres de la droite y = ax + b obtenus par la méthode des moindres carrés
- Pente : \(a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}\)
- Ordonnée à l'origine : \(b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}\)
- Ou : \(b = \bar{y} - a\bar{x}\)
Soit les points : (1, 2.1), (2, 3.9), (3, 6.2), (4, 7.8), (5, 10.1)
Créer un tableau avec x_i, y_i, x_i², x_i*y_i
\(\sum x_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)
\(\sum y_i = 2.1 + 3.9 + 6.2 + 7.8 + 10.1 = 30.1\)
\(\sum x_i^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\)
\(\sum x_iy_i = 2.1 + 7.8 + 18.6 + 31.2 + 50.5 = 110.2\)
\(a = \frac{5 \times 110.2 - 15 \times 30.1}{5 \times 55 - 15^2}\)
\(a = \frac{551 - 451.5}{275 - 225} = \frac{99.5}{50} = 1.99\)
\(b = \frac{30.1 - 1.99 \times 15}{5} = \frac{30.1 - 29.85}{5} = \frac{0.25}{5} = 0.05\)
| i | x_i | y_i | x_i² | x_i*y_i |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2.1 | 1 | 2.1 |
| 2 | 2 | 3.9 | 4 | 7.8 |
| 3 | 3 | 6.2 | 9 | 18.6 |
| 4 | 4 | 7.8 | 16 | 31.2 |
| 5 | 5 | 10.1 | 25 | 50.5 |
| Somme | 15 | 30.1 | 55 | 110.2 |
Les coefficients de la droite d'ajustement sont : a = 1.99 et b = 0.05, donc y = 1.99x + 0.05.
• Organisation : Créer un tableau pour les calculs intermédiaires
• Précision : Conserver suffisamment de décimales pendant les calculs
• Vérification : Vérifier que la droite passe approximativement par les points
Coefficient de détermination R² : Mesure de la qualité de l'ajustement, proportion de la variance expliquée par le modèle
- \(R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}\)
- \(SS_{res} = \sum(y_i - \hat{y}_i)^2\) (somme des carrés des résidus)
- \(SS_{tot} = \sum(y_i - \bar{y})^2\) (somme des carrés totale)
- Plus R² est proche de 1, meilleur est l'ajustement
Avec y = 1.99x + 0.05, calculer \(\hat{y}_i\) pour chaque x_i
\(\hat{y}_1 = 1.99(1) + 0.05 = 2.04\)
\(\hat{y}_2 = 1.99(2) + 0.05 = 4.03\)
\(\hat{y}_3 = 1.99(3) + 0.05 = 6.02\)
\(\hat{y}_4 = 1.99(4) + 0.05 = 8.01\)
\(\hat{y}_5 = 1.99(5) + 0.05 = 10.00\)
\(SS_{res} = (2.1-2.04)^2 + (3.9-4.03)^2 + (6.2-6.02)^2 + (7.8-8.01)^2 + (10.1-10.00)^2\)
\(SS_{res} = 0.0036 + 0.0169 + 0.0324 + 0.0441 + 0.01 = 0.107\)
Avec \(\bar{y} = 6.02\)
\(SS_{tot} = (2.1-6.02)^2 + (3.9-6.02)^2 + (6.2-6.02)^2 + (7.8-6.02)^2 + (10.1-6.02)^2\)
\(SS_{tot} = 15.3664 + 4.4944 + 0.0324 + 3.1684 + 16.6464 = 39.708\)
\(R^2 = 1 - \frac{0.107}{39.708} = 1 - 0.0027 = 0.9973\)
Soit R² ≈ 0.997, ce qui indique un excellent ajustement
• R² = 1 : Ajustement parfait
• R² > 0.95 : Excellent ajustement
• R² > 0.80 : Bon ajustement
• R² < 0.50 : Ajustement médiocre
Le coefficient de détermination R² = 0.997 indique que 99.7% de la variance des données est expliquée par la droite d'ajustement, ce qui est excellent.
• Valeur : R² est compris entre 0 et 1
• Qualité : Plus R² est proche de 1, meilleur est l'ajustement
• Signification : Proportion de la variance expliquée par le modèle
Ajustement non linéaire : Modélisation de données avec des fonctions autres que linéaires (exponentielles, polynomiales, logarithmiques)
- Exponentiel : y = a·e^(bx)
- Polynomial : y = ax² + bx + c
- Logarithmique : y = a·ln(x) + b
- Puissance : y = a·x^b
Soit les données : (0, 5.0), (1, 3.7), (2, 2.8), (3, 2.1), (4, 1.6)
Modèle : y = a·e^(bx)
Calculer ln(y) pour chaque point : ln(5.0)=1.609, ln(3.7)=1.308, ln(2.8)=1.030, ln(2.1)=0.742, ln(1.6)=0.470
Nouveaux points : (0, 1.609), (1, 1.308), (2, 1.030), (3, 0.742), (4, 0.470)
Ajuster Z = ln(y) en fonction de x : Z = Ax + B
Calculer A (pente) et B (ordonnée à l'origine)
\(\bar{x} = 2\), \(\bar{Z} = 1.032\)
\(A = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(Z_i-\bar{Z})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} = \frac{-2.064}{10} = -0.206\)
\(B = \bar{Z} - A\bar{x} = 1.032 - (-0.206)(2) = 1.444\)
\(b = A = -0.206\)
\(a = e^B = e^{1.444} = 4.237\)
Modèle : y = 4.237·e^(-0.206x)
• Linéaire : y = ax + b (dérivée constante)
• Quadratique : y = ax² + bx + c (dérivée linéaire)
• Exponentielle : y = a·e^(bx) (dérivée proportionnelle à y)
• Logarithmique : y = a·ln(x) + b (variation diminue avec x)
Pour les ajustements non linéaires, on peut souvent linéariser la relation (comme pour l'exponentielle avec le logarithme) puis appliquer la méthode des moindres carrés.
• Choix : Sélectionner le modèle en fonction de la physique du phénomène
• Linéarisation : Transformer la relation pour utiliser la régression linéaire
• Validation : Vérifier que le modèle choisi représente bien les données
Interprétation physique : Donner un sens physique aux coefficients a et b obtenus par ajustement de courbes
- Identifier la grandeur physique représentée
- Considérer les unités des coefficients
- Relier au phénomène physique ou chimique
- Comparer avec les prédictions théoriques
- Évaluer la pertinence des valeurs
Exemple : Ajustement de la tension U en fonction de l'intensité I dans un circuit
Modèle : U = RI + E (loi d'Ohm généralisée)
Où R est la résistance et E la force électromotrice
Si y = ax + b correspond à U = RI + E
Alors a = R (résistance) et b = E (force électromotrice)
Unités : a en Ω, b en V
La pente a = 47 Ω correspond à la résistance du circuit
L'ordonnée b = 9.2 V correspond à la tension de la source
Comparer avec les valeurs nominales des composants
Évaluer si les valeurs sont physiquement raisonnables
• Cinétique chimique : Ajustement de ln[A] = -kt + ln[A]₀ → pente = -k
• Cinétique physique : Ajustement de v = at + v₀ → pente = a (accélération)
• Thermodynamique : Ajustement de PV = nRT → pente = nRT
• Électrocinétique : Ajustement de U = E - rI → pente = -r
L'interprétation physique des coefficients consiste à identifier leur signification physique, vérifier les unités, et comparer avec les prédictions théoriques.
• Unités : Vérifier que les coefficients ont des unités cohérentes
• Phénomène : Relier les coefficients à des grandeurs physiques connues
• Validation : Comparer avec des valeurs attendues ou théoriques
- Linéaire : y = ax + b (relation proportionnelle)
- Quadratique : y = ax² + bx + c (relation parabolique)
- Exponentielle : y = a·e^(bx) (croissance/décroissance exponentielle)
- Logarithmique : y = a·ln(x) + b (variation logarithmique)
- Puissance : y = a·x^b (relation de puissance)
- La méthode des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts
- Le coefficient R² mesure la qualité de l'ajustement (0 ≤ R² ≤ 1)
- Les coefficients doivent avoir un sens physique dans le contexte
- Les unités des coefficients doivent être cohérentes
- Plus R² est proche de 1, meilleur est l'ajustement
- Des valeurs aberrantes peuvent fausser l'ajustement
Pente : \(a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}\)
Ordonnée : \(b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}\)
Coefficient de corrélation : \(r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}\)
