Angle critique : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\) avec \(n_1 > n_2\)
Angle d'incidence maximal avant la réflexion totale.
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
Avec : \(n_1\) = indice du milieu incident, \(n_2\) = indice du milieu émergent, \(n_1 > n_2\)
Passage de l'eau vers l'air
Indice de l'eau : \(n_1 = 1.33\)
Indice de l'air : \(n_2 = 1.00\)
On vérifie : \(n_1 > n_2\) (1.33 > 1.00) ✓
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{1.33}\)
\(\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.33} = 0.752\)
\(\theta_c = \arcsin(0.752) = 48.8°\)
L'angle critique pour le passage de l'eau à l'air est de 48.8°
• Condition : \(n_1 > n_2\) pour l'existence de l'angle critique
• Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
• Application : 48.8° est l'angle limite avant réflexion totale
Réflexion totale : Se produit quand l'angle d'incidence est supérieur à l'angle critique.
Rayon lumineux arrivant sur la surface d'un verre (n=1.5) depuis l'air
Angle d'incidence : \(\theta_i = 70°\)
Attention : Le rayon part de l'air vers le verre, donc pas de réflexion totale possible ici
Il s'agit probablement d'un rayon passant du verre à l'air
Alors : \(n_1 = 1.5\) (verre), \(n_2 = 1.0\) (air)
On vérifie : \(n_1 > n_2\) ✓
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.0}{1.5} = 0.667\)
\(\theta_c = \arcsin(0.667) = 41.8°\)
Angle d'incidence : \(\theta_i = 70°\)
Angle critique : \(\theta_c = 41.8°\)
Donc : \(\theta_i > \theta_c\) (70° > 41.8°)
Oui, il y a réflexion totale car l'angle d'incidence (70°) est supérieur à l'angle critique (41.8°).
• Condition de réflexion totale : \(\theta_i > \theta_c\)
• Direction : Du milieu plus dense vers le moins dense
• Résultat : 100% de la lumière est réfléchie
Condition de réflexion totale : La lumière doit passer d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent.
Indice de l'air : \(n_{air} = 1.00\)
Indice de l'eau : \(n_{eau} = 1.33\)
Donc : \(n_{air} < n_{eau}\) (1.00 < 1.33)
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
Pour le passage air-eau : \(\sin\theta_c = \frac{n_{air}}{n_{eau}} = \frac{1.00}{1.33} = 0.752\)
\(\sin\theta_c = 0.752\), donc \(\theta_c = 48.8°\)
Mais cela n'a pas de sens physique car le rayon va vers un milieu plus dense
Quand un rayon passe d'un milieu moins dense à un milieu plus dense, il se rapproche de la normale
Il ne peut jamais atteindre un angle de réfraction de 90°
Donc la réflexion totale est impossible dans ce sens
La réflexion totale est impossible pour un rayon passant de l'air à l'eau car \(n_{air} < n_{eau}\).
• Condition nécessaire : \(n_1 > n_2\) (milieu incident plus dense)
• Direction : Du milieu plus dense vers le moins dense
• Impossible : Air → Eau car \(n_{air} < n_{eau}\)
Comparaison d'angles critiques : Plus la différence entre les indices est grande, plus l'angle critique est petit.
\(n_{eau} = 1.33\), \(n_{air} = 1.00\)
\(\sin\theta_{c,ea} = \frac{1.00}{1.33} = 0.752\)
\(\theta_{c,ea} = \arcsin(0.752) = 48.8°\)
\(n_{verre} = 1.50\), \(n_{air} = 1.00\)
\(\sin\theta_{c,va} = \frac{1.00}{1.50} = 0.667\)
\(\theta_{c,va} = \arcsin(0.667) = 41.8°\)
\(\theta_{c,ea} = 48.8°\)
\(\theta_{c,va} = 41.8°\)
Donc : \(\theta_{c,ea} > \theta_{c,va}\)
Le verre est plus réfringent que l'eau (\(n_{verre} > n_{eau}\))
Plus le milieu initial est dense, plus l'angle critique est petit
Il est plus facile d'avoir la réflexion totale avec le verre
L'angle critique pour le verre-air (41.8°) est plus petit que pour l'eau-air (48.8°) car le verre est plus réfringent que l'eau.
• Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
• Relation : Plus \(n_1\) est grand, plus \(\theta_c\) est petit
• Conséquence : Réflexion totale plus facile avec matériaux denses
Rapport d'indices : On peut retrouver le rapport à partir de l'angle critique.
Angle critique : \(\theta_c = 30°\)
Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\sin(30°) = 0.5\)
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
\(0.5 = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{0.5} = 2\)
Le rapport des indices de réfraction est \(\frac{n_1}{n_2} = 2\), soit \(\frac{n_2}{n_1} = 0.5\)
• Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
• Calcul : \(\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{\sin\theta_c}\)
• Vérification : Si \(\theta_c = 30°\), alors \(\frac{n_2}{n_1} = 0.5\)
Fibre optique : Guide de lumière cylindrique constitué d'un cœur entouré d'une gaine, utilisant la réflexion totale pour transmettre les signaux lumineux.
• Cœur : Matériau transparent d'indice n₁ élevé
• Gaine : Matériau transparent d'indice n₂ < n₁
• Enveloppe protectrice
La lumière est injectée dans le cœur avec un angle suffisamment grand
L'angle d'incidence sur la paroi cœur/gaine dépasse l'angle critique
Il y a donc réflexion totale à chaque contact
\(\sin\theta_c = \frac{n_{gage}}{n_{coeur}}\)
Typiquement : n_{coeur} ≈ 1.48, n_{gage} ≈ 1.46
\(\sin\theta_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986\)
\(\theta_c = 80.6°\)
- Faibles pertes de signal
- Grande bande passante
- Immunité aux interférences électromagnétiques
- Sécurité des transmissions
Les fibres optiques utilisent la réflexion totale en maintenant l'angle d'incidence supérieur à l'angle critique pour confiner la lumière dans le cœur.
• Principe : Réflexion totale dans le cœur
• Condition : \(\theta_i > \theta_c\)
• Structure : Cœur (n₁) > Gaine (n₂)
Angle critique diamant-air : Calculé à partir de l'indice élevé du diamant.
Indice du diamant : \(n_1 = 2.42\)
Indice de l'air : \(n_2 = 1.00\)
On vérifie : \(n_1 > n_2\) ✓
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1.00}{2.42}\)
\(\sin\theta_c = \frac{1.00}{2.42} = 0.413\)
\(\theta_c = \arcsin(0.413) = 24.4°\)
L'angle critique pour le passage du diamant à l'air est de 24.4°
• Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
• Valeur faible : 24.4° car n₁ très élevé
• Conséquence : Facilité d'avoir réflexion totale dans le diamant
Calcul d'indice : Utilisation de la formule de l'angle critique pour déterminer l'indice de réfraction.
Angle critique pour le passage du verre à l'air : \(\theta_c = 42°\)
Indice de l'air : \(n_2 = 1.00\)
Indice du verre : \(n_1 = ?\)
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
\(\sin(42°) = \frac{1.00}{n_1}\)
\(\sin(42°) = 0.669\)
\(0.669 = \frac{1.00}{n_1}\)
\(n_1 = \frac{1.00}{0.669} = 1.49\)
\(\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.49} = 0.671 \approx 0.669\) ✓
L'indice de réfraction du verre est de 1.49
• Formule : \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
• Isolation : \(n_1 = \frac{n_2}{\sin\theta_c}\)
• Vérification : Recalcul de l'angle critique
Brillance du diamant : Due à la combinaison de la réfraction, de la dispersion et de la réflexion totale.
Indice du diamant : n = 2.42
C'est beaucoup plus élevé que le verre (n ≈ 1.5)
Pour le diamant-air : \(\sin\theta_c = \frac{1.00}{2.42} = 0.413\)
\(\theta_c = 24.4°\)
Pour le verre-air : \(\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.50} = 0.667\)
\(\theta_c = 41.8°\)
Dans le diamant, la réflexion totale se produit pour des angles plus petits
Plus de rayons subissent la réflexion totale
Plus de lumière est réfléchie vers l'extérieur
Le diamant est taillé pour optimiser les réflexions internes
La lumière parcourt un long chemin à l'intérieur
La dispersion crée des effets chromatiques
Les diamants brillent davantage que les verres classiques à cause de leur indice élevé (2.42) qui crée un angle critique faible (24.4°), favorisant la réflexion totale.
• Indice : n_diamant > n_verre
• Angle critique : Plus petit pour le diamant
• Conséquence : Plus de réflexions totales → plus d'éclat
Preuve mathématique : L'angle critique est toujours strictement inférieur à 90°.
Soit un rayon passant du milieu 1 (n₁) au milieu 2 (n₂)
Avec : \(n_1 > n_2 > 0\) (conditions pour l'existence de l'angle critique)
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}\)
Comme \(n_1 > n_2 > 0\), alors \(0 < \frac{n_2}{n_1} < 1\)
\(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} < 1\)
\(\theta_c = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\)
Or, \(\arcsin(x) < 90°\) pour tout \(x < 1\)
Donc \(\theta_c < 90°\) pour toute paire de milieux vérifiant \(n_1 > n_2\)
Quand \(n_1\) tend vers \(n_2\), \(\theta_c\) tend vers 90°
Mais \(\theta_c\) ne peut jamais atteindre 90° car \(n_1 \neq n_2\)
L'angle critique est toujours strictement inférieur à 90° car \(\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} < 1\) quand \(n_1 > n_2\).
• Condition : \(n_1 > n_2 > 0\)
• Inégalité : \(0 < \frac{n_2}{n_1} < 1\)
• Conséquence : \(\theta_c < 90°\) toujours vrai
