Zéros, Extremums et Signe d'une Fonction | Représentation Graphique Seconde

Pour lire les zéros d'une fonction sur sa courbe représentative :

1. Repérer les points où la courbe traverse l'axe des abscisses
2. Lire l'abscisse de chaque point d'intersection
3. Ces abscisses sont les zéros de la fonction

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.

On dit que f admet un maximum en x₀ ∈ D si pour tout x ∈ D, on a f(x) ≤ f(x₀).

Le point M(x₀, f(x₀)) est alors un sommet de la courbe.

On dit que f admet un minimum en x₀ ∈ D si pour tout x ∈ D, on a f(x) ≥ f(x₀).

Le point m(x₀, f(x₀)) est alors un creux de la courbe.

Un extremum peut être :

• Global : c'est le maximum ou le minimum sur tout l'ensemble de définition
• Local : c'est un maximum ou un minimum dans un intervalle restreint

Soit f une fonction définie sur un ensemble D.

On dit que f est positive sur un intervalle I ⊂ D si pour tout x ∈ I, on a f(x) ≥ 0.

On dit que f est négative sur un intervalle I ⊂ D si pour tout x ∈ I, on a f(x) ≤ 0.

Graphiquement :

• Si f(x) > 0, la courbe est au-dessus de l'axe (Ox)
• Si f(x) < 0, la courbe est en-dessous de l'axe (Ox)
• Si f(x) = 0, la courbe coupe l'axe (Ox)

Pour construire un tableau de signe :

1. Identifier les zéros de la fonction (points où f(x) = 0)
2. Déterminer les intervalles entre les zéros
3. Tester le signe de la fonction sur chaque intervalle
4. Indiquer le signe dans le tableau

Exemple de tableau de signe :

L'étude des zéros, extremums et signe permet de :

• Résoudre graphiquement des équations f(x) = 0
• Résoudre graphiquement des inéquations f(x) > 0 ou f(x) < 0
• Identifier les variations d'une fonction
• Étudier le comportement d'une fonction

• 1 Optimisation de coûts ou profits
• 2 Analyse de données économiques
• 3 Modélisation de phénomènes physiques
• 4 Étude de variations de température ou de pression

Les zéros de la fonction f sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

Sur le graphique, on observe deux points d'intersection :

• Un zéro en x₁ ≈ -2
• Un zéro en x₂ ≈ 3

Donc les zéros de f sont x₁ = -2 et x₂ = 3.

Sur le graphique, on observe :

• Un minimum local en x = 0,5 avec f(0,5) ≈ -1
• Le minimum est donc le point M(0,5 ; -1)

Remarque : Il n'y a pas de maximum sur l'intervalle [-4, 5] car la fonction tend vers +∞ aux extrémités.

Les zéros de f sont -2 et 3.

On divise l'intervalle [-4, 5] en trois parties : [-4, -2], [-2, 3], [3, 5].

Sur chaque intervalle, on teste le signe de f(x) en observant la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses :

• Sur [-4, -2] : la courbe est au-dessus de l'axe ⇒ f(x) > 0
• Sur [-2, 3] : la courbe est en-dessous de l'axe ⇒ f(x) < 0
• Sur [3, 5] : la courbe est au-dessus de l'axe ⇒ f(x) > 0

On cherche les valeurs de x pour lesquelles f(x) > 0.

D'après le tableau de signe, f(x) > 0 sur les intervalles [-4, -2[ et ]3, 5].

Attention : f(x) = 0 aux zéros, donc on exclut ces points.

Donc l'ensemble des solutions de f(x) > 0 est : [-4, -2[ ∪ ]3, 5].

Les zéros d'une fonction f sont les solutions de l'équation f(x) = 0.

Graphiquement, ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

• Maximum : f(x₀) ≥ f(x) pour tout x dans l'ensemble de définition
• Minimum : f(x₀) ≤ f(x) pour tout x dans l'ensemble de définition
• Sur une courbe, ce sont des sommets ou des creux

• Si la courbe est au-dessus de (Ox) : f(x) > 0
• Si la courbe est en-dessous de (Ox) : f(x) < 0
• Si la courbe coupe (Ox) : f(x) = 0