Égalité de Vecteurs

Pour tout vecteur ⃗u, on a :

Cette propriété est évidente car un vecteur a la même direction, le même sens et la même norme que lui-même.

1 Si ⃗u = ⃗v, alors ⃗v = ⃗u
2 Si deux vecteurs sont égaux, alors leurs directions, sens et normes sont identiques dans les deux sens
3 L'égalité de vecteurs est une relation d'équivalence

Dans un repère (O, I, J), deux vecteurs ⃗u(x_u, y_u) et ⃗v(x_v, y_v) sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales :

1 Si les coordonnées sont égales, alors les vecteurs ont la même direction (même angle avec l'axe des abscisses)
2 Ils ont le même sens (signe des composantes identiques)
3 Ils ont la même norme : ||⃗u|| = √(x_u² + y_u²) = √(x_v² + y_v²) = ||⃗v||

1 Coordonnées de ⃗AB :
x_AB = x_B - x_A = 5 - 2 = 3
y_AB = y_B - y_A = 7 - 3 = 4
Donc ⃗AB(3, 4)
2 Coordonnées de ⃗CD :
x_CD = x_D - x_C = 4 - 1 = 3
y_CD = y_D - y_C = 2 - (-2) = 4
Donc ⃗CD(3, 4)
3 Puisque ⃗AB(3, 4) et ⃗CD(3, 4), alors ⃗AB = ⃗CD

Soient quatre points A, B, C et D. Les propositions suivantes sont équivalentes :

Cela signifie que deux vecteurs sont égaux si et seulement si les points formant ces vecteurs sont les sommets d'un parallélogramme.

On a également les équivalences suivantes :

• ⃗AB = ⃗DC ⟺ ⃗AD = ⃗BC
• ⃗AB = ⃗DC ⟺ [AC] et [BD] ont le même milieu

Pour vérifier qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, on peut montrer que ⃗AB = ⃗DC.

Cette méthode est souvent plus simple que de vérifier que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

• 1 Construction de points à partir de relations vectorielles
• 2 Démonstration de propriétés de milieux
• 3 Résolution de problèmes de lieux géométriques
• 4 Preuve de propriétés dans des figures complexes

Si ⃗u = ⃗v, alors pour tout vecteur ⃗w :

De plus, si ⃗u = ⃗v et ⃗w = ⃗x, alors :

Si ⃗u = ⃗v et k est un réel, alors :

Cela signifie que l'égalité de vecteurs est compatible avec les opérations vectorielles.

Dans un repère, notons ⃗u(x_u, y_u), ⃗v(x_v, y_v), ⃗w(x_w, y_w), ⃗x(x_x, y_x).

Puisque ⃗u = ⃗v, on a : x_u = x_v et y_u = y_v.

Puisque ⃗w = ⃗x, on a : x_w = x_x et y_w = y_x.

Donc ⃗u + ⃗w a pour coordonnées (x_u + x_w, y_u + y_w) = (x_v + x_x, y_v + y_x) = ⃗v + ⃗x.

Donc ⃗u + ⃗w = ⃗v + ⃗x.

On peut remplacer un vecteur par un vecteur égal dans toute expression vectorielle sans changer la valeur de l'expression.

Deux vecteurs sont opposés s'ils ont la même direction, des sens contraires et la même norme.

Le vecteur opposé de ⃗u est noté -⃗u.

Si ⃗u = ⃗v, alors :

• -⃗u = -⃗v (opposés de vecteurs égaux sont égaux)
• ⃗u - ⃗v = ⃗0
• ⃗v - ⃗u = ⃗0

De plus, ⃗AB = ⃗CD ⟺ ⃗BA = ⃗DC

Un vecteur ⃗u de norme ||⃗u|| et d'angle α avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont la même norme et le même angle (modulo 2π).

Deux vecteurs égaux représentent la même translation dans le plan. Si ⃗u = ⃗v, alors la translation de vecteur ⃗u est identique à la translation de vecteur ⃗v.

1 Calculer les coordonnées de ⃗AB
2 Poser ⃗CD = ⃗AB et en déduire les coordonnées de D
3 Vérifier que ⃗AB = ⃗CD
4 Conclure que ABCD est un parallélogramme

⃗AB a pour coordonnées : (x_B - x_A, y_B - y_A) = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)

Donc ⃗AB(3, 4)

⃗CD a pour coordonnées : (x_D - x_C, y_D - y_C) = (4 - 1, 3 - (-1)) = (3, 4)

Donc ⃗CD(3, 4)

Puisque ⃗AB(3, 4) et ⃗CD(3, 4), alors ⃗AB = ⃗CD

Les vecteurs sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées.

On a ⃗AB = ⃗CD, ce qui signifie que ABCD est un parallélogramme.

En effet, si ⃗AB = ⃗CD, alors les côtés [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur.

De plus, on peut vérifier que ⃗AC = ⃗BD :

⃗AC = (1-2, -1-3) = (-1, -4)

⃗BD = (4-5, 3-7) = (-1, -4)

Donc ⃗AC = ⃗BD, ce qui confirme que les diagonales ont le même milieu.

Milieu de [AC] : ((2+1)/2, (3+(-1))/2) = (3/2, 1)

Milieu de [BD] : ((5+4)/2, (7+3)/2) = (9/2, 5)

Il y a une erreur dans notre raisonnement. Vérifions ⃗AD et ⃗BC :

⃗AD = (4-2, 3-3) = (2, 0)

⃗BC = (1-5, -1-7) = (-4, -8)

Donc ⃗AD ≠ ⃗BC. Cela signifie que ACDB est un parallélogramme, pas ABCD.

• ⃗u = ⃗v ⟺ direction(⃗u) = direction(⃗v), sens(⃗u) = sens(⃗v), ||⃗u|| = ||⃗v||
• Dans un repère : ⃗u = ⃗v ⟺ x_u = x_v et y_u = y_v
• ⃗AB = ⃗CD ⟺ ABCD est un parallélogramme

• La relation d'égalité est réflexive, symétrique et transitive
• L'égalité est conservée par addition et multiplication par un scalaire
• Deux vecteurs opposés vérifient ⃗u = -⃗v ⟺ ⃗u + ⃗v = ⃗0

• Identification de parallélogrammes
• Résolution de problèmes de lieux géométriques
• Construction de points

⃗AB = (4-1, 6-2) = (3, 4)

⃗CD = (5-2, 5-1) = (3, 4)

Donc ⃗AB = ⃗CD, ce qui signifie que ABDC est un parallélogramme.

Pour que ⃗u = ⃗v, il faut x = 3 et y = -2.

Pour que ⃗v ait la même direction que ⃗w(6, -4), il faut que ⃗v et ⃗w soient colinéaires.

On vérifie : ⃗v(3, -2) et ⃗w(6, -4). On a ⃗w = 2⃗v, donc ils sont colinéaires.

Les valeurs sont x = 3 et y = -2.