Interprétation géométrique (distance)
Introduction
Découvrez comment la valeur absolue représente une distance sur la droite numérique
Définition de la distance
La distance entre deux points
Sur la droite numérique, la distance entre deux points d'abscisses \( a \) et \( b \) est la longueur du segment qui les relie.
Valeur absolue comme distance à zéro
|x| comme distance à l'origine
La valeur absolue \( |x| \) représente la distance du point d'abscisse \( x \) au point d'abscisse 0.
C'est donc la distance du point \( x \) à l'origine de la droite numérique.
2 \( |-3| = 3 \) : distance de -3 à 0 = 3 unités
3 \( |0| = 0 \) : distance de 0 à 0 = 0 unité
Distance entre deux points quelconques
|a - b| comme distance entre a et b
La distance entre deux points d'abscisses \( a \) et \( b \) sur la droite numérique est :
La distance est symétrique : la distance de \( a \) à \( b \) est la même que celle de \( b \) à \( a \).
2 Distance entre -1 et 4 : \( |-1 - 4| = |-5| = 5 \)
3 Distance entre -3 et -1 : \( |-3 - (-1)| = |-2| = 2 \)
Équations avec distance
Résolution d'équations de la forme |x - a| = b
L'équation \( |x - a| = b \) signifie : "la distance entre x et a est égale à b".
Géométriquement, on cherche les points situés à une distance b du point d'abscisse a.
Il y a deux solutions : \( x = a + b \) et \( x = a - b \) (si b > 0).
On cherche les points situés à une distance de 3 unités du point d'abscisse 2.
Sur la droite numérique : 2 - 3 = -1 et 2 + 3 = 5
Donc S = {-1, 5}
Inéquations avec distance
Résolution d'inéquations de la forme |x - a| ≤ b
L'inéquation \( |x - a| \leq b \) signifie : "la distance entre x et a est inférieure ou égale à b".
Géométriquement, on cherche les points situés à une distance inférieure ou égale à b du point d'abscisse a.
Cela correspond à l'intervalle [a - b, a + b] (si b ≥ 0).
On cherche les points situés à une distance inférieure ou égale à 2 unités du point d'abscisse 1.
Sur la droite numérique : 1 - 2 = -1 et 1 + 2 = 3
Donc S = [-1, 3]
Inéquations strictes
Résolution d'inéquations de la forme |x - a| < b
L'inéquation \( |x - a| < b \) signifie : "la distance entre x et a est strictement inférieure à b".
Géométriquement, on cherche les points situés à une distance strictement inférieure à b du point d'abscisse a.
Cela correspond à l'intervalle ]a - b, a + b[ (si b > 0).
On peut réécrire : |x - (-2)| < 3
On cherche les points situés à une distance strictement inférieure à 3 unités du point d'abscisse -2.
Sur la droite numérique : -2 - 3 = -5 et -2 + 3 = 1
Donc S = ]-5, 1[
Inéquations avec > et ≥
Résolution d'inéquations de la forme |x - a| > b
L'inéquation \( |x - a| > b \) signifie : "la distance entre x et a est strictement supérieure à b".
Géométriquement, on cherche les points situés à une distance strictement supérieure à b du point d'abscisse a.
Cela correspond à l'union d'intervalles : ]-∞, a - b[ ∪ ]a + b, +∞[ (si b > 0).
On cherche les points situés à une distance strictement supérieure à 2 unités du point d'abscisse 3.
Sur la droite numérique : 3 - 2 = 1 et 3 + 2 = 5
Donc S = ]-∞, 1[ ∪ ]5, +∞[
Applications concrètes
Situations concrètes
Une pièce mécanique doit avoir une longueur de 10 cm avec une tolérance de ±0.2 cm.
Quelles sont les longueurs acceptables ?
On cherche x tel que |x - 10| ≤ 0.2
Cela signifie : 10 - 0.2 ≤ x ≤ 10 + 0.2
Donc 9.8 ≤ x ≤ 10.2
Les longueurs acceptables sont comprises entre 9.8 cm et 10.2 cm.
Une machine doit fonctionner à une température de 25°C avec une variation maximale de 3°C.
Quelles sont les températures acceptables ?
On cherche T tel que |T - 25| ≤ 3
Cela signifie : 25 - 3 ≤ T ≤ 25 + 3
Donc 22 ≤ T ≤ 28
Les températures acceptables sont comprises entre 22°C et 28°C.
Propriétés importantes
Propriétés de la distance
Pour tous réels a et b : \( |a - b| = |b - a| \)
La distance de a à b est la même que celle de b à a.
Pour tous réels a et b : \( |a - b| \geq 0 \)
La distance est toujours positive ou nulle.
Pour tous réels a et b : \( |a - b| = 0 \) si et seulement si \( a = b \)
La distance est nulle si et seulement si les deux points sont confondus.
Inégalité triangulaire
Propriété fondamentale
Pour tous réels a, b et c : \( |a - c| \leq |a - b| + |b - c| \)
Cette inégalité signifie que la distance directe entre a et c est inférieure ou égale à la somme des distances passant par un point intermédiaire b.
Sur la droite numérique, si on va de a à c en passant par b, le chemin est plus long (ou égal) que le chemin direct de a à c.
On ne peut pas raccourcir un trajet en y ajoutant des points intermédiaires.
Exercice d'application
Problème complet
1. Résoudre géométriquement : |x - 4| = 1
2. Résoudre géométriquement : |x + 2| ≤ 3
3. Résoudre géométriquement : |x - 1| > 4
Solutions des exercices
Corrections détaillées
On cherche les points situés à une distance de 1 unité du point d'abscisse 4.
Sur la droite numérique : 4 - 1 = 3 et 4 + 1 = 5
Donc S = {3, 5}
On peut réécrire : |x - (-2)| ≤ 3
On cherche les points situés à une distance inférieure ou égale à 3 unités du point d'abscisse -2.
Sur la droite numérique : -2 - 3 = -5 et -2 + 3 = 1
Donc S = [-5, 1]
On cherche les points situés à une distance strictement supérieure à 4 unités du point d'abscisse 1.
Sur la droite numérique : 1 - 4 = -3 et 1 + 4 = 5
Donc S = ]-∞, -3[ ∪ ]5, +∞[
Résumé
Points clés
- \( |x| \) est la distance de \( x \) à 0
- \( |a - b| \) est la distance entre les points d'abscisses \( a \) et \( b \)
- \( |x - a| = b \) : solutions \( x = a - b \) et \( x = a + b \) (si \( b > 0 \))
- Géométriquement : points situés à distance \( b \) de \( a \)
- \( |x - a| \leq b \) : \( x \in [a - b, a + b] \) (si \( b \geq 0 \))
- \( |x - a| \geq b \) : \( x \in ]-\infty, a - b] \cup [a + b, +\infty[ \) (si \( b > 0 \))
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences