1 \( |x| \geq 0 \) pour tout réel \( x \)
2 \( |x| = 0 \) si et seulement si \( x = 0 \)
3 \( |-x| = |x| \)
4 \( |xy| = |x| \cdot |y| \)
5 \( \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \) si \( y \neq 0 \)

1 \( |5| = 5 \) car \( 5 > 0 \)
2 \( |-3| = 3 \) car \( -3 < 0 \) donc \( |-3| = -(-3) = 3 \)
3 \( |0| = 0 \) par définition

Soit l'équation \( |x| = a \) où \( a \) est un nombre réel.

• Si \( a < 0 \) : l'équation n'a pas de solution
• Si \( a = 0 \) : l'équation a une seule solution \( x = 0 \)
• Si \( a > 0 \) : l'équation a deux solutions \( x = a \) et \( x = -a \)

1 \( |x| = 7 \) → \( x = 7 \) ou \( x = -7 \)
2 \( |x| = 0 \) → \( x = 0 \)
3 \( |x| = -3 \) → pas de solution (car valeur absolue ≥ 0)

1. Vérifier que \( c \geq 0 \) (sinon pas de solution)
2. Résoudre \( ax + b = c \) et \( ax + b = -c \)
3. Les solutions de ces deux équations sont les solutions de l'équation initiale

Soit l'inéquation \( |x| \leq a \) où \( a \) est un nombre réel.

• Si \( a < 0 \) : l'inéquation n'a pas de solution
• Si \( a = 0 \) : l'inéquation a une seule solution \( x = 0 \)
• Si \( a > 0 \) : l'inéquation est équivalente à \( -a \leq x \leq a \)

L'inéquation \( |x| \leq a \) signifie que la distance de \( x \) à 0 est inférieure ou égale à \( a \).

Sur la droite numérique, cela correspond à l'intervalle \([-a, a]\).

Soit l'inéquation \( |x| \geq a \) où \( a \) est un nombre réel.

• Si \( a < 0 \) : l'inéquation est vérifiée pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
• Si \( a = 0 \) : l'inéquation est vérifiée pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
• Si \( a > 0 \) : l'inéquation est équivalente à \( x \leq -a \) ou \( x \geq a \)

1. Vérifier que \( c \geq 0 \) (sinon pas de solution)
2. Transformer l'inéquation en double inéquation : \( -c \leq ax + b \leq c \)
3. Résoudre cette double inéquation

La valeur absolue \( |x - a| \) représente la distance entre les nombres \( x \) et \( a \) sur la droite numérique.

Donc \( |x - a| \leq r \) signifie que \( x \) est à une distance inférieure ou égale à \( r \) de \( a \).

\( |x - 2| \leq 3 \) signifie que la distance de \( x \) à 2 est inférieure ou égale à 3.

Cela équivaut à \( -3 \leq x - 2 \leq 3 \), soit \( -1 \leq x \leq 5 \).

Sur la droite numérique, c'est l'intervalle [−1, 5].

• 1 Oublier que \( |x| \geq 0 \) pour tout \( x \)
• 2 Ne pas vérifier si \( a \geq 0 \) dans \( |x| = a \)
• 3 Confondre \( |x| \leq a \) et \( |x| \geq a \)
• 4 Oublier qu'une équation avec valeur absolue peut avoir 0, 1 ou 2 solutions

• Toujours vérifier que la condition de positivité est respectée
• Tester les solutions trouvées dans l'équation initiale
• Faire un schéma pour visualiser les intervalles

1. Vérifier que \( c \geq 0 \)
2. Résoudre \( ax + b = c \)
3. Résoudre \( ax + b = -c \)
4. Donner l'ensemble des solutions

1. Vérifier que \( c \geq 0 \)
2. Transformer en double inéquation : \( -c \leq ax + b \leq c \)
3. Résoudre la double inéquation
4. Donner l'ensemble des solutions

On résout les deux équations :

• \( 2x - 5 = 3 \) → \( 2x = 8 \) → \( x = 4 \)
• \( 2x - 5 = -3 \) → \( 2x = 2 \) → \( x = 1 \)

Donc S = {1, 4}

On transforme en double inéquation :

\( -2 \leq x + 4 \leq 2 \)

On soustrait 4 :

\( -6 \leq x \leq -2 \)

Donc S = [-6, -2]

\( |3x - 1| > 5 \) équivaut à \( 3x - 1 > 5 \) ou \( 3x - 1 < -5 \)

C'est-à-dire \( 3x > 6 \) ou \( 3x < -4 \)

Donc \( x > 2 \) ou \( x < -\frac{4}{3} \)

Donc S = ]-∞, -4/3[ ∪ ]2, +∞[

• \( |x| = x \) si \( x \geq 0 \) et \( |x| = -x \) si \( x < 0 \)
• \( |x| \) représente la distance de \( x \) à 0 sur la droite numérique

• \( |x| = a \) : 0 solution si \( a < 0 \), 1 solution si \( a = 0 \), 2 solutions si \( a > 0 \)
• \( |ax + b| = c \) : résoudre \( ax + b = c \) et \( ax + b = -c \)

• \( |x| \leq a \) : équivaut à \( -a \leq x \leq a \) (si \( a \geq 0 \))
• \( |x| \geq a \) : équivaut à \( x \leq -a \) ou \( x \geq a \) (si \( a \geq 0 \))