Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, card(Ω) = 6.
\(P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\)
Les issues possibles sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}, les multiples de 3 sont : 3 et 6
Issues favorables : {3, 6}, donc card(A) = 2
\(P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est \(\frac{1}{3}\)
• Définition : \(P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\)
• Équiprobabilité : Chaque face du dé a la même probabilité
• Simplification : \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Univers : Couples (résultats des deux pièces), card(Ω) = 4.
Ω = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}, où P=Pile et F=Face
Exactement une face signifie (P,F) ou (F,P)
Issues favorables : {(P,F), (F,P)}, donc card(A) = 2
\(P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
La probabilité d'obtenir exactement une face est \(\frac{1}{2}\)
• Produit cartésien : Pour deux expériences indépendantes
• Équiprobabilité : Chaque couple a la même probabilité
• Principe multiplicatif : 2 × 2 = 4 résultats possibles
Univers : Jeu de 32 cartes, card(Ω) = 32.
Dans un jeu de 32 cartes : 4 rois (trèfle, cœur, carreau, pique)
Dans un jeu de 32 cartes : 8 trèfles (as, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
A = "tirer un roi", B = "tirer un trèfle"
\(A \cap B\) = "tirer le roi de trèfle"
\(P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
\(P(B) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{32}\)
\(P(A \cup B) = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{32} = \frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\)
La probabilité de tirer un roi ou un trèfle est \(\frac{11}{32}\)
• Formule d'inclusion-exclusion : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• Événements non disjoints : Le roi de trèfle est compté dans les deux événements
• Importance : Ne pas compter deux fois les éléments communs
Univers : Ensemble des 30 élèves, card(Ω) = 30.
Total d'élèves : 30
Nombre de filles : 18
Nombre de garçons = 30 - 18 = 12
Issues favorables = 12 (nombre de garçons)
\(P(\text{garçon}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\)
La probabilité de choisir un garçon est \(\frac{2}{5}\)
• Formule de Laplace : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Complémentaire : \(P(\text{garçon}) = 1 - P(\text{fille})\)
• Simplification : \(\frac{12}{30} = \frac{2}{5}\)
Univers : Ensemble des 10 boules, card(Ω) = 10.
5 rouges + 3 vertes + 2 bleues = 10 boules au total
"Ne pas tirer une boule rouge" = "Tirer une boule verte ou bleue"
\(P(\text{non rouge}) = 1 - P(\text{rouge})\)
\(P(\text{rouge}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
\(P(\text{non rouge}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
Boules non rouges : 3 vertes + 2 bleues = 5
\(P(\text{non rouge}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est \(\frac{1}{2}\)
• Événement contraire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Utilité : Parfois plus simple de calculer le contraire
• Vérification : Toujours possible de calculer directement
Univers : Couples (résultats des deux dés), card(Ω) = 36.
Chaque dé peut donner 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Donc 6 × 6 = 36 couples possibles
Les sommes possibles sont : 2, 3, ..., 12
Nous cherchons les couples (i,j) tels que i+j ≥ 10
Somme = 10 : (4,6), (5,5), (6,4)
Somme = 11 : (5,6), (6,5)
Somme = 12 : (6,6)
Total : 3 + 2 + 1 = 6 couples favorables
\(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La probabilité que la somme soit ≥ 10 est \(\frac{1}{6}\)
• Produit cartésien : 6² = 36 résultats possibles
• Énumération : Lister systématiquement tous les cas
• Organisation : Classer par somme pour éviter les oublis
Univers : Ensemble des 10 jetons, card(Ω) = 10.
4 verts + 3 bleus + 3 rouges = 10 jetons
A = "tirer un jeton vert ou bleu"
Jetons verts : 4
Jetons bleus : 3
Total favorable : 4 + 3 = 7
\(P(A) = \frac{7}{10}\)
La probabilité de tirer un jeton vert ou bleu est \(\frac{7}{10}\)
• Événements incompatibles : Vert et bleu ne peuvent pas se produire ensemble
• Addition : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) quand A et B sont disjoints
• Simplicité : Additionner les effectifs favorables
Univers : Ensemble des 100 billets, card(Ω) = 100.
Total de billets : 100
Billets gagnants : 20
A = "acheter un billet gagnant"
\(P(A) = \frac{\text{billets gagnants}}{\text{total des billets}} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}\)
Cela signifie qu'on a 1 chance sur 5 de gagner
La probabilité de gagner est \(\frac{1}{5}\) ou 0.2
• Définition classique : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Équiprobabilité : Chaque billet a la même chance d'être tiré
• Simplification : \(\frac{20}{100} = \frac{1}{5}\)
Univers : Ensemble des 25 personnes, card(Ω) = 25.
Total de personnes : 25
Pratiquent le tennis : 15
Pratiquent le football : 12
Pratiquent les deux : 8
\(P(T \cup F) = P(T) + P(F) - P(T \cap F)\)
Où T = "pratique le tennis", F = "pratique le football"
\(P(T) = \frac{15}{25}\), \(P(F) = \frac{12}{25}\), \(P(T \cap F) = \frac{8}{25}\)
\(P(T \cup F) = \frac{15}{25} + \frac{12}{25} - \frac{8}{25} = \frac{19}{25}\)
19 personnes pratiquent au moins un sport sur 25
La probabilité qu'une personne pratique au moins un sport est \(\frac{19}{25}\)
• Formule d'inclusion-exclusion : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• Importance : Ne pas compter deux fois ceux qui pratiquent les deux sports
• Logique : "Au moins un" signifie union d'événements
Univers : Tirage successif sans remise de 2 cartes parmi 32.
Jeu de 32 cartes
Nombre de cœurs : 8
Tirage sans remise
A = "les deux cartes sont des cœurs"
Probabilité de premier cœur : \(\frac{8}{32}\)
Après avoir tiré un cœur, il reste 7 cœurs sur 31 cartes
Probabilité de deuxième cœur : \(\frac{7}{31}\)
\(P(A) = \frac{8}{32} \times \frac{7}{31} = \frac{56}{992} = \frac{7}{124}\)
\(\frac{56}{992} = \frac{7}{124}\) (diviser numérateur et dénominateur par 8)
La probabilité que les deux cartes soient des cœurs est \(\frac{7}{124}\)
• Probabilité conditionnelle : Le second tirage dépend du premier
• Multiplication : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
• Sans remise : L'univers change après chaque tirage
