Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot n_i}{\sum_{i=1}^{n} n_i}\) où \(x_i\) sont les valeurs et \(n_i\) les coefficients.
- Identifier les valeurs \(x_i\) et les coefficients \(n_i\)
- Calculer les produits \(x_i \cdot n_i\)
- Faire la somme des produits
- Faire la somme des coefficients
- Diviser la somme des produits par la somme des coefficients
Valeurs : 5, 8, 12, 15 avec coefficients : 2, 3, 4, 1
5 × 2 = 10, 8 × 3 = 24, 12 × 4 = 48, 15 × 1 = 15
10 + 24 + 48 + 15 = 97
2 + 3 + 4 + 1 = 10
\(\bar{x} = \frac{97}{10} = 9.7\)
La moyenne pondérée est \(\bar{x} = 9.7\)
• Formule : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{\sum n_i}\)
• Calcul : Multiplier chaque valeur par son coefficient
• Division : Diviser la somme des produits par la somme des coefficients
Notes pondérées : Chaque note a un coefficient qui indique son importance dans le calcul de la moyenne.
Maths : 14 (coeff. 4), Français : 12 (coeff. 3), Physique : 16 (coeff. 2), Histoire : 11 (coeff. 1)
14 × 4 = 56, 12 × 3 = 36, 16 × 2 = 32, 11 × 1 = 11
56 + 36 + 32 + 11 = 135
4 + 3 + 2 + 1 = 10
\(\bar{x} = \frac{135}{10} = 13.5\)
La moyenne pondérée est de 13.5/20
• Formule : \(\bar{x} = \frac{\sum note_i \cdot coeff_i}{\sum coeff_i}\)
• Importance : Les matières avec des coefficients plus élevés influencent davantage la moyenne
• Calcul : Chaque note est multipliée par son coefficient
Fréquences : La moyenne pondérée peut aussi s'exprimer comme \(\bar{x} = \sum x_i \cdot f_i\) où \(f_i\) sont les fréquences.
Valeurs : 10, 15, 20 avec fréquences : 0.2, 0.5, 0.3
10 × 0.2 = 2, 15 × 0.5 = 7.5, 20 × 0.3 = 6
2 + 7.5 + 6 = 15.5
La somme des fréquences est 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0 ✓
La moyenne pondérée est \(\bar{x} = 15.5\)
• Formule alternative : \(\bar{x} = \sum x_i \cdot f_i\)
• Fréquences : Somme des fréquences = 1
• Calcul : Multiplier chaque valeur par sa fréquence
Valeur manquante : Trouver une valeur inconnue qui permet d'obtenir une moyenne pondérée spécifique.
Valeurs : 8, 12, x avec coefficients : 2, 3, 1. Moyenne voulue : 10
\(\frac{8 \times 2 + 12 \times 3 + x \times 1}{2 + 3 + 1} = 10\)
\(\frac{16 + 36 + x}{6} = 10\)
\(\frac{52 + x}{6} = 10\)
52 + x = 60
x = 60 - 52 = 8
\(\frac{8 \times 2 + 12 \times 3 + 8 \times 1}{6} = \frac{16 + 36 + 8}{6} = \frac{60}{6} = 10\) ✓
La valeur manquante est x = 8
• Équation : Poser l'équation de la moyenne pondérée
• Inconnue : Isoler la valeur inconnue
• Vérification : Toujours vérifier la solution obtenue
Comparaison : La moyenne pondérée et la moyenne simple peuvent donner des résultats différents.
Valeurs : 5, 8, 12 avec coefficients : 1, 2, 3
\(\bar{x}_{simple} = \frac{5 + 8 + 12}{3} = \frac{25}{3} \approx 8.33\)
\(\bar{x}_{pondérée} = \frac{5 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 3}{1 + 2 + 3} = \frac{5 + 16 + 36}{6} = \frac{57}{6} = 9.5\)
La moyenne pondérée (9.5) est supérieure à la moyenne simple (8.33)
La moyenne pondérée est influencée par les valeurs avec les plus grands coefficients (ici 12 avec coeff. 3)
La moyenne pondérée (9.5) est supérieure à la moyenne simple (8.33) car les coefficients influencent le résultat
• Différence : La moyenne pondérée tient compte de l'importance relative des valeurs
• Influence : Les valeurs avec les plus grands coefficients influencent davantage la moyenne
• Interprétation : La moyenne pondérée reflète mieux la réalité dans certains contextes
Série continue : Pour une série continue, on utilise les centres des classes pour calculer la moyenne pondérée.
Classes : [0;10[, [10;20[, [20;30[, [30;40[
Effectifs : 5, 8, 12, 5
c₁ = 5 (centre de [0;10[), c₂ = 15, c₃ = 25, c₄ = 35
5 × 5 = 25, 15 × 8 = 120, 25 × 12 = 300, 35 × 5 = 175
25 + 120 + 300 + 175 = 620
5 + 8 + 12 + 5 = 30
\(\bar{x} = \frac{620}{30} \approx 20.67\)
La moyenne pondérée est \(\bar{x} \approx 20.67\)
• Centres de classes : Utiliser le centre de chaque classe comme valeur representative
• Formule : \(\bar{x} = \frac{\sum c_i \cdot n_i}{\sum n_i}\) où \(c_i\) est le centre de la classe
• Approximation : La moyenne est une approximation car on ignore la répartition exacte dans chaque classe
Histogramme : On peut extraire les données d'un histogramme pour calculer la moyenne pondérée.
On identifie les classes et leurs effectifs à partir de l'histogramme
Classes : [10;20[, [20;30[, [30;40[, [40;50[
Effectifs estimés : 6, 10, 8, 4
c₁ = 15, c₂ = 25, c₃ = 35, c₄ = 45
15 × 6 = 90, 25 × 10 = 250, 35 × 8 = 280, 45 × 4 = 180
90 + 250 + 280 + 180 = 800
6 + 10 + 8 + 4 = 28
\(\bar{x} = \frac{800}{28} \approx 28.57\)
La moyenne pondérée est \(\bar{x} \approx 28.57\)
• Lecture : Extraire les classes et les effectifs de l'histogramme
• Centres : Utiliser les centres des classes comme valeurs représentatives
• Calcul : Appliquer la formule de la moyenne pondérée
Application économique : Calcul de la moyenne pondérée pour des prix avec quantités achetées.
Prix des articles : 15€, 20€, 25€, 30€
Quantités achetées : 2, 3, 1, 4
Les quantités servent de coefficients dans le calcul de la moyenne pondérée
15 × 2 = 30, 20 × 3 = 60, 25 × 1 = 25, 30 × 4 = 120
30 + 60 + 25 + 120 = 235
2 + 3 + 1 + 4 = 10
\(\bar{x} = \frac{235}{10} = 23.5\)
Le prix moyen par article est de 23.5€, pondéré par les quantités achetées
Le prix moyen pondéré est de 23.5€
• Application : Les quantités servent de coefficients de pondération
• Signification : La moyenne pondérée reflète le coût moyen réel
• Utilité : Utile pour les calculs de coûts moyens, indices de prix, etc.
Moyenne de groupes : Calculer la moyenne globale à partir des moyennes et effectifs de plusieurs groupes.
Groupe A : 20 élèves, moyenne = 12.5
Groupe B : 15 élèves, moyenne = 14.2
Groupe C : 10 élèves, moyenne = 11.8
Les effectifs des groupes servent de coefficients
12.5 × 20 = 250, 14.2 × 15 = 213, 11.8 × 10 = 118
250 + 213 + 118 = 581
20 + 15 + 10 = 45
\(\bar{x} = \frac{581}{45} \approx 12.91\)
La moyenne globale est \(\bar{x} \approx 12.91\)
• Formule : \(\bar{x} = \frac{\sum \bar{x}_i \cdot n_i}{\sum n_i}\) où \(\bar{x}_i\) est la moyenne du groupe i
• Coefficients : Les effectifs de chaque groupe servent de coefficients
• Applications : Moyennes de classes, entreprises, etc.
Application concrète : Utilisation de la moyenne pondérée dans un contexte réel.
Un commerçant vend 3 types de café : Café A (15€/kg, 10kg vendus), Café B (20€/kg, 8kg vendus), Café C (25€/kg, 12kg vendus)
Calculer le prix moyen de vente du café
Valeurs (prix) : 15, 20, 25
Coefficients (quantités) : 10, 8, 12
15 × 10 = 150, 20 × 8 = 160, 25 × 12 = 300
150 + 160 + 300 = 610
10 + 8 + 12 = 30
\(\bar{x} = \frac{610}{30} \approx 20.33\)
Le prix moyen de vente du café est de 20.33€/kg
Le prix moyen de vente est de 20.33€/kg
• Contexte : Identifier les grandeurs pertinentes (prix, quantités)
• Application : Utiliser la moyenne pondérée pour des calculs réels
• Interprétation : Donner du sens au résultat obtenu
