Sens de variation : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tous x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).
f(x) = √x
√x existe si et seulement si x ≥ 0
Donc D_f = [0, +∞[
Soient x₁, x₂ ∈ [0, +∞[ avec x₁ < x₂
On veut comparer √x₁ et √x₂
Supposons √x₁ ≥ √x₂
Alors (√x₁)² ≥ (√x₂)² (car la fonction carré est croissante sur [0, +∞[)
Donc x₁ ≥ x₂
Cela contredit x₁ < x₂
Donc √x₁ < √x₂
La fonction f est strictement croissante sur [0, +∞[
La fonction f est strictement croissante sur [0, +∞[
• Définition de croissance : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Réciproque de l'implication : Par l'absurde
• Fonction carré : Croissante sur [0, +∞[
Fonction croissante : Si f est croissante sur I et x₁, x₂ ∈ I avec x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂).
f(x) = √x
√7 et √11
7 < 11
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si x₁ < x₂, alors √x₁ < √x₂
Comme 7 < 11, alors √7 < √11
√7 ≈ 2.65 et √11 ≈ 3.32
Effectivement, 2.65 < 3.32
√7 < √11 car 7 < 11 et la fonction racine carrée est croissante
• Fonction croissante : Si f est croissante et x₁ < x₂, alors f(x₁) < f(x₂)
• Fonction racine carrée : Strictement croissante sur [0, +∞[
• Comparaison : √x₁ < √x₂ ⟺ x₁ < x₂ (pour x₁, x₂ ≥ 0)
Translation verticale : Ajouter une constante à une fonction ne change pas son sens de variation.
g(x) = √x + 3
g(x) = f(x) + 3, où f(x) = √x
La fonction f(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[
La fonction g est la fonction f translatée de +3 verticalement
Une translation verticale ne change pas le sens de variation
Soient x₁, x₂ ∈ [0, +∞[ avec x₁ < x₂
Comme f est croissante : f(x₁) < f(x₂)
Donc f(x₁) + 3 < f(x₂) + 3
Soit g(x₁) < g(x₂)
La fonction g est strictement croissante sur [0, +∞[
• Translation verticale : Ne change pas le sens de variation
• Conservation des variations : Ajouter une constante ne change pas les variations
• Fonction croissante : Si x₁ < x₂ alors f(x₁) < f(x₂)
Tableau de variation : Outil qui résume le sens de variation d'une fonction sur son domaine de définition.
f(x) = √x
D_f = [0, +∞[
La fonction f est strictement croissante sur [0, +∞[
f(0) = √0 = 0
Quand x → +∞, √x → +∞
| x | 0 | +∞ |
|---|---|---|
| f(x) | 0 | ↗ |
• La flèche ↗ indique que la fonction est strictement croissante
• La fonction part de 0 et tend vers +∞
| x | 0 | +∞ |
|---|---|---|
| f(x) | 0 | ↗ |
• Structure du tableau : Domaine → Sens de variation → Valeurs aux bornes
• Flèches de variation : ↗ pour croissante, ↘ pour décroissante
• Valeurs aux bornes : Images des extrémités du domaine
Propriété fondamentale : Pour a, b ≥ 0, a < b ⟺ √a < √b.
Soient a, b ≥ 0 avec a < b
La fonction f(x) = √x est strictement croissante sur [0, +∞[
Si a < b et a, b ∈ [0, +∞[, alors f(a) < f(b)
Donc √a < √b
On peut aussi montrer que √a < √b ⇒ a < b (par contraposée)
Pour a, b ≥ 0 : a < b ⟺ √a < √b
Pour a, b ≥ 0, si a < b, alors √a < √b
• Fonction strictement croissante : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
• Équivalence : a < b ⟺ √a < √b (pour a, b ≥ 0)
• Conservation de l'ordre : Fonction croissante préserve l'ordre
Classement par ordre croissant : Utiliser le fait que la fonction racine carrée est strictement croissante.
√2, √5, √3
2 < 3 < 5
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si x₁ < x₂ < x₃, alors √x₁ < √x₂ < √x₃
Comme 2 < 3 < 5, alors √2 < √3 < √5
√2 ≈ 1.41, √3 ≈ 1.73, √5 ≈ 2.24
Effectivement, 1.41 < 1.73 < 2.24
L'ordre croissant est : √2, √3, √5
• Fonction croissante : Préserve l'ordre
• Classement : Ranger les radicandes, puis les racines dans le même ordre
• Transitivité : a < b et b < c ⇒ a < c
Inéquation avec racine : √x ≥ √a (a ≥ 0) équivaut à x ≥ a car la fonction racine carrée est strictement croissante.
√x ≥ √7
√7 ≥ 0 ✓
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc √x ≥ √7 ⟺ x ≥ 7
√x existe seulement si x ≥ 0
Mais comme x ≥ 7 ≥ 0, cette condition est automatiquement satisfaite
√x ≥ √7 ⟺ x ≥ 7
S = [7, +∞[
• Inéquation √x ≥ √a (a ≥ 0) : Solution x ≥ a
• Utilisation de la croissance : Fonction strictement croissante préserve l'ordre
• Domaine de définition : x ≥ 0
Comparaison de fonctions : Sur ]1, +∞[, √x < x car √x < x pour x > 1.
On travaille sur ]1, +∞[, donc x > 1
Soit x ∈ ]1, +∞[
Alors x > 1, donc √x > 1
Considérons (√x)² = x
Et (√x) × (√x) = x
Comme √x > 1 (car x > 1), on a √x × √x > 1 × √x
Donc x > √x
Soit g(x) = x - √x
On veut montrer que g(x) > 0 pour x > 1
g(x) = √x(√x - 1)
Pour x > 1 : √x > 1, donc √x - 1 > 0
Donc g(x) = √x(√x - 1) > 0
Sur ]1, +∞[, on a √x < x
Pour x = 4 : √x = 2 et x = 4
Effectivement, 2 < 4
Pour x ∈ ]1, +∞[, on a √x < x
• Sur ]1, +∞[ : √x < x car x = (√x)² et √x > 1
• Fonction croissante : Préservation de l'ordre par la racine carrée
• Points fixes : √x = x pour x = 0 et x = 1
Fonction composée : h(x) = √(x+2) est une composée de fonctions croissantes.
h(x) = √(x+2)
√(x+2) existe si et seulement si x+2 ≥ 0
Donc x ≥ -2
D_h = [-2, +∞[
h(x) = f(g(x)) où g(x) = x+2 et f(u) = √u
g(x) = x+2 est strictement croissante sur ℝ
f(u) = √u est strictement croissante sur [0, +∞[
La composée de deux fonctions strictement croissantes est strictement croissante
Soient x₁, x₂ ∈ [-2, +∞[ avec x₁ < x₂
Alors x₁+2 < x₂+2
Et √(x₁+2) < √(x₂+2) (car √ est croissante)
Donc h(x₁) < h(x₂)
La fonction h est strictement croissante sur [-2, +∞[
• Composition de fonctions croissantes : Donne une fonction croissante
• Domaine de définition : x+2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2
• Fonction affine : x ↦ x+2 est strictement croissante
Comparaison de fonctions : Pour x ≥ 0, √(x+1) > √x car x+1 > x.
√(x+1) et √x
Pour √x : x ≥ 0
Pour √(x+1) : x+1 ≥ 0, donc x ≥ -1
Donc x ≥ 0 pour les deux
Pour x ≥ 0 : x+1 > x
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0, +∞[
Donc, si u < v, alors √u < √v
Comme x < x+1, alors √x < √(x+1)
Cela signifie que √(x+1) - √x > 0
Donc √(x+1) > √x pour tout x ≥ 0
Pour x = 0 : √(x+1) = √1 = 1 et √x = √0 = 0
Effectivement, 1 > 0
Pour x ≥ 0, √(x+1) > √x
• Fonction croissante : Préserve l'ordre
• Comparaison : x < y ⇒ √x < √y (pour x, y ≥ 0)
• Domaine de définition : x ≥ 0 pour √x et x ≥ -1 pour √(x+1)
