Choix des variables pertinentes
Exercices corrigés

Modélisation thermique d'une pièce de 20 m²

Objectif : Prédire la température intérieure

Contrainte : Maintenir la température entre 18°C et 22°C

• Température extérieure T_ext(t) [°C]

• Puissance de chauffage P_chauffage(t) [W]

• Puissance dissipée par appareils P_appareils(t) [W]

• Insolation solaire I_solaire(t) [W/m²]

• Débit d'air neuf Q_air(t) [m³/h]

Ces variables sont indépendantes du système et influencent la température

• Température intérieure T_int(t) [°C]

• Température des murs T_murs(t) [°C]

• Humidité relative H_rel(t) [%]

• Température du système de chauffage T_chauffage(t) [°C]

Ces variables décrivent l'état interne du système et évoluent dans le temps

• Température intérieure T_int(t) [°C]

• Consommation énergétique E_consommée(t) [kWh]

• Indice de confort thermique IC(t) [-]

Ces variables sont les grandeurs observables et mesurables

Très importantes :

• Température extérieure (grand impact sur les pertes)
• Puissance de chauffage (paramètre de commande)
• Température intérieure (variable de sortie principale)

Modérément importantes :

• Insolation solaire (gain thermique gratuit)
• Température des murs (inertie thermique)

\( C_{th} \frac{dT_{int}}{dt} = P_{chauffage} - \frac{1}{R}(T_{int} - T_{ext}) + P_{appareils} + Q_{solaire} \)

Où C_th est la capacité thermique et R la résistance thermique

Ce modèle ne retient que les variables les plus pertinentes

Système de freinage hydraulique d'une voiture

Objectif : Arrêt sûr et rapide

Contrainte : Distance d'arrêt < 40 m à 100 km/h

• Pression hydraulique dans les circuits

• Température des disques de frein

• Épaisseur des plaquettes

• Viscosité du liquide de frein

• Pression atmosphérique

• Humidité de l'air

• Type de route (sec, humide, neige)

• Charge du véhicule

• Vitesse initiale

• État de la route (adhérence)

Variables d'entrée :

• Pression appliquée sur la pédale (commande)
• Température ambiante
• État de la route (type, humidité)
• Vitesse initiale
• Charge du véhicule

Variables d'état :

• Pression hydraulique dans les circuits
• Température des disques
• Épaisseur des plaquettes
• Vitesse actuelle

Pour une distance d'arrêt critique :

• Très sensible à : Vitesse initiale (v²), adhérence route

• Moyennement sensible : Charge du véhicule, température disques

• Peu sensible : Pression atmosphérique, humidité

Variables critiques (à surveiller en permanence) :

• Vitesse initiale et actuelle
• Pression hydraulique
• Température des disques (surchauffe)
• Épaisseur des plaquettes (usure)
• État de la route (coeff. d'adhérence)

Ces variables sont essentielles pour la sécurité et la performance

\( d_{arrêt} = \frac{v_0^2}{2 \mu g} + d_{réaction} \)

Où μ est le coefficient d'adhérence, v₀ la vitesse initiale

Ce modèle met en évidence les variables critiques : v₀ et μ

• Les variables critiques identifiées correspondent aux paramètres mesurés dans les essais

• Elles expliquent la majorité des variations de performance

• Elles sont pertinentes pour la sécurité routière

Turbine éolienne de 2 MW

Objectif : Maximiser la production d'énergie

Contrainte : Vitesse de rotation limitée, vibrations acceptables

• Vitesse du vent

• Direction du vent

• Température ambiante

• Pression atmosphérique

• Humidité

• Densité de l'air

• Angle des pales

• Vitesse de rotation

• Couple électromagnétique

• Température des composants

• Vibrations mécaniques

• État des paliers

• Condition des pales

Variables d'entrée :

• Vitesse du vent (critique)
• Direction du vent
• Température ambiante
• Pression atmosphérique

Variables d'état :

• Angle des pales
• Vitesse de rotation
• Couple électromagnétique
• Température des composants

Variables de sortie :

• Puissance électrique produite
• Énergie produite cumulée
• Vibrations mécaniques

Niveau 1 (Critique) :

• Vitesse du vent (impact direct sur la puissance)
• Vitesse de rotation (limitation physique)
• Puissance produite (objectif principal)

Niveau 2 (Important) :

• Direction du vent (orientation)
• Angle des pales (optimisation)
• Température des composants (sécurité)

Niveau 3 (Secondaire) :

• Humidité, pression atmosphérique
• Vibrations (surveillance)
• État des pales (maintenance)

\( P = \frac{1}{2} \rho A v^3 C_p(\lambda, \beta) \)

Où :

• ρ = densité de l'air (fonction de T et P)
• A = surface balayée par les pales
• v = vitesse du vent (variable critique)
• C_p = coefficient de puissance (fonction de λ et β)
• λ = taux de vitesse spécifique
• β = angle des pales

• Vitesse du vent : Cubique dans la formule → impact majeur

• Angle des pales : Influence C_p → optimisation de la performance

• Température : Affecte ρ mais impact secondaire

• Pression : Faible variation → impact négligeable

• Contrôle prioritaire sur la vitesse de rotation

• Ajustement de l'angle des pales pour optimiser C_p

• Surveillance continue des températures critiques

• Ignorer les variables de faible impact pour simplifier le modèle

Batterie lithium-ion 3.7V, 3000mAh

Objectif : Prédire la durée de vie et la performance

Contrainte : Maintenir 80% de capacité initiale pendant 5 ans

Variables d'entrée :

• Courant de charge/décharge (I)
• Température de fonctionnement (T)
• Tension de coupure (V_cut)
• Fréquence des cycles (f)

Variables internes :

• Capacité restante (C)
• Résistance interne (R_int)
• État de santé (SOH)

\( SOH(t) = 100 - k_1 \cdot T \cdot t - k_2 \cdot I^2 \cdot N_{cycles} - k_3 \cdot \log(N_{cycles}) \)

Où k₁, k₂, k₃ sont des coefficients de dégradation

\( C(t) = C_0 \cdot SOH(t) / 100 \)

Pour une batterie à 25°C, I = 1A, 100 cycles :

Sensibilité à la température : \( \frac{\partial SOH}{\partial T} = -k_1 \cdot t \)

Pour t = 1 an, k₁ = 0.1%/°C/an : \( \frac{\partial SOH}{\partial T} = -0.1 \%/\text{°C} \)

Sensibilité au courant : \( \frac{\partial SOH}{\partial I} = -2k_2 \cdot I \cdot N_{cycles} \)

Pour k₂ = 0.001%/A²/cycle : \( \frac{\partial SOH}{\partial I} = -2 \times 0.001 \times 1 \times 100 = -0.2 \%/\text{A} \)

Sensibilité au nombre de cycles : \( \frac{\partial SOH}{\partial N} = -k_2 \cdot I^2 - \frac{k_3}{N} \)

\( = -0.001 \times 1 - \frac{0.1}{100} = -0.001 - 0.001 = -0.002 \%/\text{cycle} \)

Pour des variations typiques :

• ΔT = ±10°C : ΔSOH = ±1%
• ΔI = ±0.5A : ΔSOH = ±0.1%
• ΔN = ±50 cycles : ΔSOH = ±0.1%

La température est la variable la plus sensible

Pour comparer l'impact des variables avec unités différentes :

\( S_{rel,T} = \frac{\Delta SOH/SOH_0}{\Delta T/T_0} = \frac{1/95}{10/25} = 0.026 \)

\( S_{rel,I} = \frac{\Delta SOH/SOH_0}{\Delta I/I_0} = \frac{0.1/95}{0.5/1} = 0.0021 \)

\( S_{rel,N} = \frac{\Delta SOH/SOH_0}{\Delta N/N_0} = \frac{0.1/95}{50/100} = 0.0021 \)

La température a une sensibilité relative 12 fois plus élevée

• Contrôle thermique : Système de refroidissement pour limiter T

• Limitation de courant : Contrôle des pics de charge/décharge

• Optimisation des cycles : Éviter les cycles partiels fréquents

Les variables les plus sensibles doivent être contrôlées en priorité

Robot mobile à roues différentielles

Objectif : Suivre une trajectoire prédéfinie

Contrainte : Erreur de position < 5 cm

• Positions x, y, θ (capteurs de position)

• Vitesses linéaire v et angulaire ω

• Tensions aux moteurs V_gauche, V_droite

• Courants moteurs I_gauche, I_droite

• Capteurs de distance (ultrasons, laser)

• Accéléromètres et gyroscopes

• Caméra

• Température des composants

• Niveau de batterie

Variables d'entrée (commandes) :

• Tensions aux moteurs (V_gauche, V_droite)
• Consigne de vitesse

Variables d'état (état du système) :

• Position (x, y, θ)
• Vitesses (v, ω)
• Vitesses des roues

Variables de sortie (mesures) :

• Position mesurée
• Erreurs de trajectoire
• Énergie consommée

\( \frac{dx}{dt} = v \cos(\theta) \)

\( \frac{dy}{dt} = v \sin(\theta) \)

\( \frac{d\theta}{dt} = \omega \)

\( v = \frac{r}{2}(v_{droite} + v_{gauche}) \)

\( \omega = \frac{r}{L}(v_{droite} - v_{gauche}) \)

Où r est le rayon des roues et L l'empattement

Variables critiques pour le contrôle :

• Position (x, y, θ) - pour le feedback
• Vitesses (v, ω) - pour le contrôle dynamique
• Tensions aux moteurs - pour la commande

Variables secondaires :

• Capteurs de distance - pour détection d'obstacles
• Caméra - pour navigation avancée
• Température - pour sécurité

La boucle de contrôle PID nécessite :

• Mesure de la position actuelle

• Comparaison avec la position de référence

• Calcul de la commande (tensions aux moteurs)

Les variables critiques sont donc la position mesurée et les tensions commandées

Pour une application de base, on peut réduire le modèle à :

États : x = [x, y, θ, v, ω]

Entrées : u = [V_gauche, V_droite]

Sorties : y = [x_mesurée, y_mesurée, θ_mesurée]

Ce modèle réduit contient les variables essentielles pour le contrôle

• Le modèle réduit permet de concevoir un contrôleur efficace

• Les performances sont comparables au modèle complet

• La complexité de calcul est réduite

• La robustesse est maintenue