Anneaux de Bode et réponses en fréquence | Exercices corrigés

Concepts & Exercices

\(G_{dB} = 20\log|H(j\omega)|, \quad \phi = \arg(H(j\omega))\)

Diagrammes de Bode

Gain en dB

\(G_{dB} = 20\log|H(j\omega)|\)

Échelle logarithmique

Phase

\(\phi = \arg(H(j\omega))\)

Déphasage

Pulsation de coupure

\(\omega_c = \frac{1}{RC}\)

Filtre RC

⚡

Réponse en fréquence : Réaction d'un système à une excitation sinusoïdale

⚡

Diagramme de gain : Variation du gain en fonction de la fréquence

⚡

Diagramme de phase : Variation du déphasage en fonction de la fréquence

⚡

Fréquence de coupure : Fréquence à -3dB du gain maximal

Exercice 1

Tracer les diagrammes de Bode pour un filtre passe-bas du premier ordre H(jω) = 1/(1+jωRC)

Exercice 2

Calculer le gain et la phase à la fréquence de coupure d'un filtre RC

Exercice 3

Déterminer la pente de la droite asymptotique en haute fréquence pour un filtre du premier ordre

Exercice 4

Analyser la stabilité d'un système à partir de ses marges de gain et de phase

Exercice 5

Tracer les diagrammes de Bode pour un filtre passe-haut du premier ordre

Corrigé : Exercices 1 à 3

1 Diagrammes de Bode filtre passe-bas

Définition :

Fonction de transfert du premier ordre : H(jω) = 1/(1+jωRC), où ω₀ = 1/RC est la pulsation de coupure.

Méthode de tracé :

Identifier la pulsation de coupure ω_c = 1/RC
Calculer le module |H(jω)| = 1/√(1+(ω/ω_c)²)
Calculer le gain en dB : G_dB = 20log|H(jω)|
Calculer la phase : φ = -arctan(ω/ω_c)

→

H(jω) = 1/(1+jωRC)

Module

|H| = 1/√(1+(ω/ω_c)²)

Gain

G_dB = 20log|H|

Phase

φ = -arctan(ω/ω_c)

Étape 1 : Calcul du module

|H(jω)| = |1| / |1+jωRC| = 1 / √(1² + (ωRC)²) = 1 / √(1 + (ω/ω_c)²)

Étape 2 : Calcul du gain en dB

G_dB = 20log₁₀(1 / √(1 + (ω/ω_c)²)) = -10log₁₀(1 + (ω/ω_c)²)

Étape 3 : Calcul de la phase

φ = arg(1) - arg(1+jωRC) = 0 - arctan(ωRC/1) = -arctan(ω/ω_c)

Étape 4 : Analyse asymptotique

Basse fréquence (ω << ω_c): G_dB ≈ 0dB, φ ≈ 0°

Haute fréquence (ω >> ω_c): G_dB ≈ -20log₁₀(ω/ω_c), φ ≈ -90°

G_dB = -10log(1+(ω/ω_c)²), φ = -arctan(ω/ω_c)

Réponse finale :

Diagramme de gain : plat à 0dB jusqu'à ω_c, puis pente de -20dB/décade. Diagramme de phase : 0° à basse fréquence, -90° à haute fréquence.

Règles appliquées :

• Pulsation de coupure : ω_c = 1/RC

• Pente : -20dB/décade pour premier ordre

• Phase : Varie de 0° à -90°

2 Valeurs à la fréquence de coupure

Définition :

Fréquence de coupure : Fréquence à laquelle le gain est réduit de 3dB par rapport au gain maximal. Pour un filtre du premier ordre, ω_c = 1/RC.

ω = ω_c = 1/RC

→

H(jω_c) = 1/(1+j)

→

G_c = ?, φ_c = ?

H(jω_c)

1/(1+j)

|H(jω_c)|

1/√2

G_c

-3dB

Étape 1 : Substituer ω = ω_c dans H(jω)

H(jω_c) = 1/(1+jω_c·RC) = 1/(1+j·1) = 1/(1+j)

Étape 2 : Calcul du module

|H(jω_c)| = |1| / |1+j| = 1 / √(1² + 1²) = 1/√2 ≈ 0.707

Étape 3 : Calcul du gain en dB

G_c = 20log₁₀(1/√2) = 20log₁₀(2⁻¹/²) = -20 × (1/2) × log₁₀(2) = -10 × 0.301 = -3.01 ≈ -3dB

Étape 4 : Calcul de la phase

φ_c = arg(1/(1+j)) = arg(1) - arg(1+j) = 0 - arctan(1/1) = 0 - 45° = -45°

G_c = -3dB, φ_c = -45°

Réponse finale :

À la fréquence de coupure, le gain est de -3dB et la phase est de -45°

Règles appliquées :

• Fréquence de coupure : |H| = 1/√2 ≈ 0.707

• Gain à -3dB : Correspond à 1/√2 du gain maximal

• Phase à -45° : Pour filtre du premier ordre

3 Pente asymptotique haute fréquence

Définition :

Pente asymptotique : Taux de diminution du gain en haute fréquence, exprimé en dB par décade ou par octave.

ω >> ω_c

→

H(jω) ≈ 1/(jωRC)

→

Pente = -20dB/décade

ω >> ω_c

|H| ≈ 1/(ωRC)

G_dB

≈ -20log(ωRC)

Pente

-20dB/décade

Étape 1 : Approximation en haute fréquence

Quand ω >> ω_c, alors ω/ω_c >> 1, donc 1 + (ω/ω_c)² ≈ (ω/ω_c)²

Étape 2 : Calcul du module approché

|H(jω)| ≈ 1 / √((ω/ω_c)²) = ω_c / ω = 1/(ωRC)

Étape 3 : Calcul du gain en dB

G_dB ≈ 20log(1/(ωRC)) = -20log(ωRC) = -20log(ω) - 20log(RC)

Étape 4 : Calcul de la pente

Si ω est multiplié par 10 (une décade), alors G_dB diminue de 20log(10) = 20dB

Donc pente = -20dB/décade

Pente = -20dB/décade

Réponse finale :

La pente asymptotique en haute fréquence pour un filtre du premier ordre est de -20dB par décade

Règles appliquées :

• Premier ordre : Pente de -20dB/décade

• N-ième ordre : Pente de -20N dB/décade

• Décade : Multiplication par 10 de la fréquence

Corrigé : Exercices 4 à 5

4 Marges de stabilité

Définition :

Marges de stabilité : La marge de gain est la quantité de gain supplémentaire nécessaire pour que le système devienne instable à la fréquence où la phase est -180°. La marge de phase est la quantité de phase supplémentaire nécessaire pour que le système devienne instable à la fréquence où le gain est 0dB.

H(jω)

→

MG = ?

→

MP = ?

Marge gain

MG = -G(φ=-180°)

Marge phase

MP = 180° + φ(G=0dB)

Critère

MG > 0, MP > 0

Étape 1 : Comprendre la marge de gain

La marge de gain est la quantité de gain (en dB) par laquelle le gain est inférieur à 0dB à la fréquence où la phase est -180°.

Étape 2 : Comprendre la marge de phase

La marge de phase est la quantité de phase (en degrés) par laquelle la phase est supérieure à -180° à la fréquence où le gain est 0dB.

Étape 3 : Critère de stabilité

Pour qu'un système en boucle fermée soit stable, il faut que la marge de gain soit positive et la marge de phase positive.

Étape 4 : Application numérique (exemple)

Si à φ = -180°, G = -10dB, alors MG = -(-10) = 10dB

Si à G = 0dB, φ = -135°, alors MP = 180° + (-135°) = 45°

MG = 10dB, MP = 45° (stable)

Réponse finale :

Un système est stable si sa marge de gain et sa marge de phase sont positives

Règles appliquées :

• Marge de gain : MG = -G(φ = -180°)

• Marge de phase : MP = 180° + φ(G = 0dB)

• Stabilité : MG > 0dB et MP > 0°

5 Diagrammes de Bode filtre passe-haut

Définition :

Filtre passe-haut du premier ordre : H(jω) = jωRC/(1+jωRC), qui atténue les basses fréquences et transmet les hautes fréquences.

→

H(jω) = jωRC/(1+jωRC)

Module

|H| = (ωRC)/√(1+(ωRC)²)

Gain

G_dB = 20log((ωRC)/√(1+(ωRC)²))

Phase

φ = 90° - arctan(ωRC)

Étape 1 : Calcul du module

|H(jω)| = |jωRC| / |1+jωRC| = ωRC / √(1² + (ωRC)²) = (ωRC) / √(1 + (ωRC)²)

Étape 2 : Calcul du gain en dB

G_dB = 20log₁₀((ωRC) / √(1 + (ωRC)²)) = 20log₁₀(ωRC) - 10log₁₀(1 + (ωRC)²)

Étape 3 : Calcul de la phase

φ = arg(jωRC) - arg(1+jωRC) = 90° - arctan(ωRC/1) = 90° - arctan(ωRC)

Étape 4 : Analyse asymptotique

Basse fréquence (ω << ω_c): G_dB ≈ 20log(ωRC) - 10log(1) = 20log(ωRC), φ ≈ 90°

Haute fréquence (ω >> ω_c): G_dB ≈ 20log(ωRC) - 10log((ωRC)²) = 0dB, φ ≈ 0°

Étape 5 : Fréquence de coupure

À ω = ω_c = 1/RC: |H| = (1)/(√(1+1)) = 1/√2, G_c = -3dB, φ_c = 90° - 45° = 45°

G_dB = 20log((ωRC)/√(1+(ωRC)²)), φ = 90° - arctan(ωRC)

Réponse finale :

Diagramme de gain : pente de +20dB/décade à basse fréquence, plat à 0dB à haute fréquence. Diagramme de phase : 90° à basse fréquence, 0° à haute fréquence.

Règles appliquées :

• Pente basse fréquence : +20dB/décade

• Pente haute fréquence : 0dB

• Phase : Varie de 90° à 0°

Cours bien détaillé

\(G_{dB} = 20\log|H(j\omega)|, \quad \phi = \arg(H(j\omega))\)

Diagrammes de Bode

🎯

Diagramme de gain : Représentation du gain en dB en fonction de la fréquence sur échelle logarithmique.

⚡

Diagramme de phase : Représentation de la phase en degrés en fonction de la fréquence.

🛡️

Fréquence de coupure : Fréquence à laquelle le gain est réduit de 3dB par rapport au gain maximal.

🔥

Marges de stabilité : Indicateurs de la robustesse d'un système asservi.

💡

Conseil : Toujours tracer les asymptotes avant la courbe réelle

🔍

Attention : La fréquence de coupure est à -3dB pour les filtres du premier ordre

⚡

Astuce : La pente est de -20dB/décade par ordre de dénominateur

📋

Méthode : Identifier d'abord les pulsations de cassure

✅

Vérification : La phase tend vers -90° pour chaque pôle en haute fréquence

Types de filtres :

Passe-bas : H(jω) = 1/(1+jω/ω_c)
Passe-haut : H(jω) = (jω/ω_c)/(1+jω/ω_c)
Passe-bande : H(jω) = (jω/ω_0)/(1+jQ(ω/ω_0 - ω_0/ω))
Réjecteur de bande : H(jω) = (1-(ω/ω_0)²)/(1+jQ(ω/ω_0 - ω_0/ω))

Règles importantes :

Les diagrammes de Bode utilisent une échelle logarithmique en abscisse
La pente d'un pôle simple est de -20dB/décade
La phase d'un pôle simple varie de 0° à -90°
Un système est stable si les marges de gain et de phase sont positives

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