Loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\)
- Identifier les termes communs dans l'expression
- Appliquer les lois de l'algèbre de Boole
- Utiliser la loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\)
Dans \(A + A \cdot B\), le facteur commun est \(A\)
\(A + A \cdot B = A \cdot (1 + B)\)
Or, \(1 + B = 1\) (car 1 est l'élément neutre pour l'addition)
Donc \(A \cdot (1 + B) = A \cdot 1 = A\)
\(A + A \cdot B = A\)
\(A + A \cdot B = A\)
• Loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\)
• Élément neutre : \(1 + X = 1\) pour toute variable \(X\)
• Propriété de multiplication : \(A \cdot 1 = A\)
Théorèmes de De Morgan : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) et \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
| A | B | A+B | \(\overline{A+B}\) | \(\overline{A}\) | \(\overline{B}\) | \(\overline{A} \cdot \overline{B}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
On observe que les colonnes \(\overline{A+B}\) et \(\overline{A} \cdot \overline{B}\) sont identiques
Donc \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
Le théorème de De Morgan est démontré : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
• Théorème de De Morgan : La négation d'une somme est égale au produit des négations
• Table de vérité : Méthode de vérification systématique
• Logique binaire : Les variables ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1
Table de vérité : Représentation de toutes les combinaisons possibles des variables et des résultats correspondants
L'expression contient 2 variables : A et B
Il y a donc \(2^2 = 4\) combinaisons possibles
Pour chaque combinaison (A, B), on calcule :
- \(\overline{B}\) (complément de B)
- \(\overline{A}\) (complément de A)
- \(A \cdot \overline{B}\)
- \(\overline{A} \cdot B\)
- \(S = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B\)
| A | B | \(\overline{A}\) | \(\overline{B}\) | \(A \cdot \overline{B}\) | \(\overline{A} \cdot B\) | S |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
L'expression \(S = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B\) correspond à la fonction XOR (OU exclusif)
• Nombre de combinaisons : Pour n variables, il y a \(2^n\) combinaisons
• Calcul progressif : On calcule chaque terme intermédiaire
• Fonction XOR : Renvoie 1 lorsque les entrées sont différentes
Théorème de De Morgan : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\) et \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
\(\overline{A \cdot B + C}\) est de la forme \(\overline{X + Y}\) où \(X = A \cdot B\) et \(Y = C\)
\(\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}\)
Donc \(\overline{A \cdot B + C} = \overline{A \cdot B} \cdot \overline{C}\)
\(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
\(\overline{A \cdot B + C} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot \overline{C}\)
\(\overline{A \cdot B + C} = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot \overline{C}\)
• Théorème de De Morgan (1er) : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
• Théorème de De Morgan (2ème) : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
• Application successive : On peut appliquer plusieurs fois les théorèmes
Portes logiques : Composants électroniques qui implémentent des fonctions logiques de base
L'expression est un produit de deux sommes :
- Première somme : \(A + B\) → Porte OR
- Deuxième somme : \(\overline{A} + C\) → Porte OR avec A inversé
- Produit final : \((A + B) \cdot (\overline{A} + C)\) → Porte AND
- 1 porte OR pour \(A + B\)
- 1 porte NOT pour \(\overline{A}\)
- 1 porte OR pour \(\overline{A} + C\)
- 1 porte AND pour le produit final
Le circuit comporte :
- Une porte OR avec entrées A et B
- Une porte NOT avec entrée A (donne \(\overline{A}\))
- Une porte OR avec entrées \(\overline{A}\) et C
- Une porte AND avec entrées les sorties des deux premières portes OR
Le circuit nécessite 2 portes OR, 1 porte NOT et 1 porte AND connectées selon la structure décrite.
• Porte OR : Renvoie 1 si au moins une entrée est 1
• Porte AND : Renvoie 1 seulement si toutes les entrées sont 1
• Porte NOT : Inverse la valeur de l'entrée
- Loi d'identité : \(A + 0 = A\), \(A \cdot 1 = A\)
- Loi de complément : \(A + \overline{A} = 1\), \(A \cdot \overline{A} = 0\)
- Loi d'idempotence : \(A + A = A\), \(A \cdot A = A\)
- Loi d'absorption : \(A + A \cdot B = A\), \(A \cdot (A + B) = A\)
- Lois de De Morgan : \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\), \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\)
- L'algèbre de Boole est utilisée pour concevoir des circuits logiques combinatoires
- La simplification permet de réduire le nombre de portes logiques nécessaires
- Les tables de vérité sont essentielles pour vérifier les expressions logiques
- Les théorèmes de De Morgan sont cruciaux pour la manipulation des expressions
- Les portes logiques sont les éléments physiques qui implémentent les opérations booléennes
