Repères et référentiels
Exercices corrigés

Un point M a pour coordonnées (3, 4, 5) dans le repère (O, \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)). Le repère (O', \(\vec{i'}, \vec{j'}, \vec{k'}\)) est tel que \(\vec{OO'} = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}\) et les axes sont parallèles. Trouver les coordonnées de M dans le repère (O', \(\vec{i'}, \vec{j'}, \vec{k'}\)).

\(\vec{OM} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\)

\(\vec{OO'} = 2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}\)

\(\vec{OM} = \vec{OO'} + \vec{O'M}\)

Donc \(\vec{O'M} = \vec{OM} - \vec{OO'}\)

\(\vec{O'M} = (3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}) - (2\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k})\)

\(\vec{O'M} = (3-2)\vec{i} + (4-1)\vec{j} + (5-(-1))\vec{k}\)

\(\vec{O'M} = 1\vec{i} + 3\vec{j} + 6\vec{k}\)

Les coordonnées de M dans (O', \(\vec{i'}, \vec{j'}, \vec{k'}\)) sont (1, 3, 6).

Un train roule à 30 m/s vers l'est. Un passager marche à 2 m/s vers l'arrière du train. Quelle est la vitesse du passager par rapport au sol ?

Référentiel absolu : Terre (R)

Référentiel relatif : Train (R')

Vitesse d'entraînement : \(\vec{v}_e = 30\vec{i}\) (train par rapport au sol)

Vitesse relative : \(\vec{v}_r = -2\vec{i}\) (passager par rapport au train)

\(\vec{v}_{\text{absolue}} = \vec{v}_{\text{relative}} + \vec{v}_{\text{entrainement}}\)

\(\vec{v}_a = \vec{v}_r + \vec{v}_e\)

\(\vec{v}_a = (-2\vec{i}) + (30\vec{i}) = 28\vec{i}\)

Expliquer pourquoi un satellite géostationnaire semble immobile depuis la Terre et justifier le choix du référentiel.

Période orbitale : 24 heures (comme la rotation terrestre)

Altitude : environ 35 786 km au-dessus de l'équateur

Vitesse angulaire : ω_satellite = ω_terre

Dans le référentiel terrestre, le satellite a la même vitesse angulaire que la Terre

Donc, pour un observateur fixe sur Terre, le satellite ne bouge pas

Dans le référentiel galiléen (fixe par rapport aux étoiles), le satellite est en mouvement circulaire

Il décrit une orbite en 24 heures

Pour les applications de communication, le référentiel terrestre est pertinent

Car l'antenne au sol doit pointer toujours dans la même direction

Une particule a pour position \(\vec{OM} = r(t)\vec{e_r}\) dans un repère cylindrique (O, \(\vec{e_r}, \vec{e_\theta}, \vec{k}\)) en rotation avec \(\theta(t) = \omega t\). Calculer sa vitesse dans ce repère.

Dans un repère en rotation : \(\frac{d\vec{e_r}}{dt} = \dot{\theta}\vec{e_\theta}\)

\(\frac{d\vec{e_\theta}}{dt} = -\dot{\theta}\vec{e_r}\)

\(\vec{OM} = r(t)\vec{e_r}\)

\(\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{d}{dt}[r(t)\vec{e_r}]\)

\(\vec{v} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r(t)\frac{d\vec{e_r}}{dt}\)

\(\vec{v} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r(t) \cdot \dot{\theta}\vec{e_\theta}\)

Comme \(\theta(t) = \omega t\), alors \(\dot{\theta} = \omega\)

\(\vec{v} = \frac{dr}{dt}\vec{e_r} + r(t)\omega\vec{e_\theta}\)

Comparer le mouvement d'un objet lâché sans vitesse initiale dans le référentiel terrestre et dans le référentiel géocentrique. Expliquer pourquoi le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des expériences courtes.

L'objet est soumis à la pesanteur : \(\vec{P} = m\vec{g}\)

Équation du mouvement : \(z(t) = z_0 - \frac{1}{2}gt^2\)

L'objet tombe verticalement

La Terre tourne à vitesse angulaire \(\omega = 7.27 \times 10^{-5}\) rad/s

L'objet a une vitesse initiale \(\vec{v_0} = \omega R_T \cos(\varphi)\vec{e_\theta}\) (vitesse de rotation)

Dans ce référentiel, l'objet a une trajectoire quasi-parabolique

Pendant une courte durée (quelques secondes), la rotation terrestre est négligeable

Différence de position : \(\Delta \approx \frac{1}{2}\omega^2 R_T t^2 \ll h\)

Pour des expériences de courte durée, les effets de la rotation terrestre sont négligeables

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen