Loi de Snell-Descartes : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, relation fondamentale de la réfraction.
- Appliquer la loi de Snell-Descartes : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂
- Isoler sin i₂ : sin i₂ = (n₁/n₂) × sin i₁
- Calculer i₂ = arcsin(...)
Rayon rouge : λ = 650 nm
Prisme : n₂ = 1.5
Air : n₁ = 1.0
Angle d'incidence : i₁ = 45°
n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂
sin i₂ = (n₁/n₂) × sin i₁
sin i₂ = (1.0/1.5) × sin 45°
sin i₂ = (2/3) × (√2/2)
sin i₂ = (2√2)/6 = √2/3
i₂ = arcsin(√2/3)
i₂ = arcsin(0.471)
i₂ ≈ 28.1°
L'angle de réfraction du rayon rouge est d'environ 28.1°
• Snell-Descartes : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂
• Réfraction : Passage lumière entre deux milieux
• Angle de déviation : i₁ > i₂ car n₂ > n₁
Dispersion : Variation de l'indice de réfraction avec la longueur d'onde.
L'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde : n = f(λ)
Pour la plupart des matériaux : n(λ_violet) > n(λ_rouge)
À incidence égale, un indice plus grand implique un angle de réfraction plus petit
Pour λ_violet < λ_rouge ⇒ n_violet > n_rouge
Donc le rayon violet est plus dévié que le rayon rouge
Les ondes de courte longueur d'onde (violet) interagissent plus avec les atomes du prisme
Le violet est plus dévié que le rouge car son indice de réfraction est plus grand dans le prisme
• Dispersion : n dépend de λ
• Inversement proportionnel : n ∝ 1/λ
• Ordre de déviation : Violet > Bleu > Vert > Jaune > Orange > Rouge
Loi de Cauchy : n(λ) = A + B/λ², modèle empirique de la dispersion.
Longueur d'onde λ = 400 nm = 400 × 10⁻⁹ m
Paramètres : A = 1.5, B = 5 × 10⁻¹⁵ m²
n(λ) = A + B/λ²
λ² = (400 × 10⁻⁹)² = 160000 × 10⁻¹⁸ = 1.6 × 10⁻¹³ m²
B/λ² = (5 × 10⁻¹⁵) / (1.6 × 10⁻¹³)
B/λ² = (5/1.6) × 10⁻¹⁵⁻⁽⁻¹³⁾
B/λ² = 3.125 × 10⁻² = 0.03125
n = A + B/λ² = 1.5 + 0.03125 = 1.53125
L'indice du verre pour λ = 400 nm est de 1.531
• Loi de Cauchy : n(λ) = A + B/λ²
• Dispersion : Modèle empirique de la variation de n avec λ
• Calcul précis : Attention aux puissances de 10
Déviation dans un prisme : Pour de petits angles, D ≈ (n-1)A.
Prisme équilatéral : A = 60°
Indice : n = 1.6
D ≈ (n - 1) × A
D ≈ (1.6 - 1) × 60°
D ≈ 0.6 × 60°
D ≈ 36°
Plus n est grand, plus la déviation est importante
L'angle de déviation du prisme équilatéral est d'environ 36°
• Formule approximative : D ≈ (n-1)A pour petits angles
• Linéarité : D proportionnel à A et (n-1)
• Application : Calcul rapide de la déviation
Dispersion normale : L'indice diminue quand la longueur d'onde augmente.
λ₁ = 450 nm (bleu)
λ₂ = 650 nm (rouge)
Donc λ₁ < λ₂
Pour la plupart des matériaux transparents :
n(λ₁) > n(λ₂) si λ₁ < λ₂
Les radiations de courte longueur d'onde interagissent plus avec les électrons du matériau
n(450 nm) > n(650 nm)
Le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge
Pour toutes les longueurs d'onde visibles : n_violet > n_bleu > n_vert > n_jaune > n_orange > n_rouge
n(450 nm) > n(650 nm), l'indice est plus élevé pour la lumière bleue que pour la lumière rouge
• Dispersion normale : n diminue avec λ
• Inversement proportionnel : n ∝ 1/λ
• Classement : n_violet > n_rouge
Angle limite : Angle d'incidence pour lequel l'angle de réfraction est de 90°.
Prisme : n₂ = 1.5
Air : n₁ = 1.0
L'angle de réfraction est i₂ = 90°
n₂ sin i₂ = n₁ sin i₁
n₂ sin 90° = n₁ sin i₁_limite
n₂ × 1 = n₁ sin i₁_limite
sin i₁_limite = n₂/n₁
sin i₁_limite = 1.5/1.0 = 1.5
Or, sin ne peut pas être > 1
Donc, il faut inverser : sin i₂_limite = n₁/n₂
sin i₂_limite = 1.0/1.5 = 2/3
i₂_limite = arcsin(2/3) ≈ 41.8°
L'angle limite pour la sortie du prisme dans l'air est d'environ 41.8°
• Angle limite : sin i_l = n_extérieur/n_intérieur
• Conditions : i_r = 90°
• Applications : Fibres optiques, réflexion totale
Décomposition spectrale : Séparation des différentes couleurs constitutives de la lumière blanche.
La lumière blanche contient toutes les couleurs du spectre visible
À l'entrée du prisme, chaque couleur subit une réfraction selon sa longueur d'onde
Chaque couleur a un indice de réfraction différent dans le prisme
n_violet > n_bleu > n_vert > n_jaune > n_orange > n_rouge
À la sortie du prisme, chaque couleur subit une nouvelle réfraction
Le rayon violet est le plus dévié, le rouge le moins dévié
Les différentes couleurs apparaissent séparément sur un écran
Le prisme disperse la lumière blanche en un spectre de couleurs en raison de la variation de l'indice avec la longueur d'onde
• Dispersion : n dépend de λ
• Séparation spectrale : Chaque couleur est déviée différemment
• Ordre des couleurs : Violet à l'intérieur, rouge à l'extérieur
Applications spectroscopiques : Utilisation des propriétés de dispersion des prismes.
Les prismes permettent de décomposer la lumière pour analyser sa composition
Utilisés pour identifier les éléments chimiques par leur spectre caractéristique
Permettent d'étudier la composition des étoiles et galaxies
Utilisés pour des mesures précises d'indices de réfraction
Correction chromatique dans les objectifs complexes
Contrôle qualité, analyse de matériaux, détection de substances
Les prismes sont utilisés dans les instruments optiques pour leur capacité à disperser la lumière et analyser sa composition spectrale
• Dispersion spectrale : Base de l'analyse spectroscopique
• Applications multiples : Scientifique, industriel, médical
• Précision : Mesures spectrales très fines possibles
Déviation minimale : Situation où le rayon traverse le prisme symétriquement.
Angle du prisme : A = 60°
Indice : n = 1.5
Le rayon incident et émergent font le même angle avec les faces du prisme
sin[(A + D_min)/2] = n × sin(A/2)
sin[(60° + D_min)/2] = 1.5 × sin(30°)
sin[(60° + D_min)/2] = 1.5 × 0.5 = 0.75
(60° + D_min)/2 = arcsin(0.75)
(60° + D_min)/2 ≈ 48.6°
60° + D_min ≈ 97.2°
D_min ≈ 97.2° - 60° = 37.2°
La déviation minimale du prisme est d'environ 37.2°
• Déviation minimale : Symétrie du trajet optique
• Formule exacte : sin[(A + D_min)/2] = n × sin(A/2)
• Application : Mesure précise des indices de réfraction
Analyse spectrale : Technique d'identification des substances par leur signature lumineuse.
Chaque élément chimique émet ou absorbe des raies spectrales caractéristiques
Le prisme disperse la lumière pour séparer les différentes longueurs d'onde
En observant les raies spectrales, on peut identifier les éléments présents
Permet d'analyser la composition des étoiles et atmosphères planétaires
Identification des substances dans les laboratoires et industries
Analyse de sang, tissus, substances biologiques
La dispersion par prisme est essentielle en analyse spectrale car elle permet de séparer les longueurs d'onde et d'identifier les substances par leur signature lumineuse
• Signature spectrale : Chaque élément a un spectre unique
• Dispersion : Séparation des longueurs d'onde
• Applications multiples : Astronomie, chimie, médecine
