Référentiels et invariance des lois | Exercices corrigés

Concepts & Exercices

\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{v}_{AB} \cdot t

Transformation de Galilée

Référentiel Galiléen

📍

Repère inertiel

Transformation

🔄

Changement de repère

Invariance

⚖️

Lois conservées

Relativité

🌐

Mouvement relatif

Concepts clés :

Référentiel Galiléen : Repère inertiel où les lois de Newton s'appliquent
Transformation de Galilée : Changement de coordonnées entre repères
Invariance : Certaines grandeurs restent constantes dans tous les repères
Relativité galiléenne : Les lois de la mécanique sont invariantes

Exercice 1

Identification des référentiels Galiléens

Exercice 2

Transformation de Galilée

Exercice 3

Invariance des grandeurs physiques

Exercice 4

Mouvement relatif

Exercice 5

Applications pratiques

Corrigé : Exercices 1 à 3

1 Référentiels Galiléens

Définition :

Problème : Identifier les référentiels Galiléens dans différentes situations

Critères d'un référentiel Galiléen :

Repère inertiel (non accéléré)
Les lois de Newton s'appliquent
Les forces d'inertie sont nulles
Le repère est en translation rectiligne uniforme

Identifier le mouvement du repère

Évaluer son accélération

Vérifier la validité des lois de Newton

Conclure sur la nature Galiléenne

Étape 1 : Référentiels usuels

Référentiel terrestre : Approximativement Galiléen pour les mouvements courts
Référentiel géocentrique : Galiléen pour les mouvements autour de la Terre
Référentiel héliocentrique : Galiléen pour les mouvements dans le système solaire
Référentiel d'un train à vitesse constante : Galiléen
Référentiel d'une voiture qui freine : Non Galiléen

Étape 2 : Exemples concrets

Exemple 1 : Référentiel d'un ascenseur en montée à vitesse constante → Galiléen
Exemple 2 : Référentiel d'une voiture dans un virage → Non Galiléen
Exemple 3 : Référentiel d'un laboratoire fixe sur Terre → Galiléen (approximation)

Étape 3 : Analyse des forces

Dans un référentiel Galiléen, les forces d'inertie n'existent pas.
Force apparente dans un référentiel non Galiléen : F_inertie = -ma_{entraînement}

Référentiels Galiléens : En translation rectiligne uniforme, pas d'accélération

Résultats :

Seuls les repères en translation rectiligne uniforme sont des référentiels Galiléens.

Règles d'identification :

• Accélération nulle : Le repère ne doit pas être en rotation ou en accélération

• Translation uniforme : Vitesse constante par rapport à un repère Galiléen

• Applications des lois de Newton : Sans forces d'inertie

2 Transformation de Galilée

Définition :

Problème : Appliquer les transformations de Galilée entre deux repères

\begin{cases} x' = x - v_x t \\ y' = y - v_y t \\ z' = z - v_z t \\ t' = t \end{cases}

\vec{v}' = \vec{v} - \vec{v}_{relatif}

Identifier les deux repères

Déterminer la vitesse relative

Appliquer les transformations

Calculer les grandeurs dans le nouveau repère

Étape 1 : Situation physique

Deux trains R et R' se déplacent sur des rails parallèles. Le train R se déplace à vitesse constante v_R = 30 m/s dans le sens positif de l'axe x. Le train R' se déplace à vitesse constante v_R' = 20 m/s dans le même sens.

Un passager dans R observe un objet se déplaçant à vitesse v = 5 m/s dans le sens positif.

Étape 2 : Transformation de position

Soit un objet en position x dans R à l'instant t. Dans R', la position x' est :

x' = x - v_RR' × t = x - (v_R - v_R') × t
x' = x - (30 - 20) × t = x - 10t

Étape 3 : Transformation de vitesse

La vitesse dans R' est :

v'_x = v_x - v_RR' = 5 - 10 = -5 m/s

L'objet semble se déplacer à -5 m/s dans R', c'est-à-dire dans le sens opposé.

Étape 4 : Généralisation

Soit un objet en mouvement dans R avec vecteur vitesse v = (v_x, v_y, v_z).
Dans R' se déplaçant à vitesse v_rel = (v_rx, v_ry, v_rz) par rapport à R :

v' = v - v_rel

Transformation de Galilée : v' = v - v_rel

Résultats :

La vitesse de l'objet dans R' est de -5 m/s, contrairement à +5 m/s dans R.

Règles de transformation :

• Temps invariant : t' = t (temps absolu)

• Positions liées : x' = x - v_relt

• Vitesses relatives : v' = v - v_rel

3 Invariance des grandeurs physiques

Définition :

Problème : Identifier les grandeurs physiques invariantes dans les transformations de Galilée

Identifier la grandeur physique

Appliquer la transformation

Vérifier l'invariance

Classifier selon le type d'invariance

Étape 1 : Grandeurs invariantes

Temps : t' = t → Invariant absolu
Distance entre deux points fixes : Δx' = Δx → Invariant
Accélération : a' = a → Invariante
Forces : F' = F → Invariantes

Étape 2 : Démonstration de l'invariance de l'accélération

Soit un mobile de position x(t) dans R.

Dans R' : x'(t) = x(t) - v_relt

Vitesse dans R' : v' = dx'/dt = dx/dt - v_rel = v - v_rel

Accélération dans R' : a' = dv'/dt = d(v - v_rel)/dt = dv/dt - 0 = a

Donc a' = a → L'accélération est invariante.

Étape 3 : Grandeurs non invariantes

Vitesse : v' = v - v_rel → Dépend du repère
Quantité de mouvement : p' = mv' = m(v - v_rel) → Dépend du repère
Énergie cinétique : E' = ½mv'² = ½m(v - v_rel)² → Dépend du repère

Étape 4 : Application aux lois de Newton

Première loi : Si F = 0, alors a = 0 → Valide dans tous les repères Galiléens
Deuxième loi : F = ma → F' = ma' = ma = F → Invariante
Troisième loi : F_AB = -F_BA → Invariante

Les lois de Newton sont invariantes par transformation de Galilée.

Invariance : Temps, distances fixes, accélérations, forces

Résultats :

Les lois fondamentales de la mécanique sont invariantes par transformation de Galilée.

Règles d'invariance :

• Grandeurs scalaires : Temps, distances fixes sont invariantes

• Grandeurs vectorielles : Accélérations et forces sont invariantes

• Grandeurs dépendant du repère : Vitesses, énergies cinétiques

Corrigé : Exercices 4 à 5

4 Mouvement relatif

Définition :

Problème : Analyser le mouvement relatif entre deux objets dans différents repères

Mobile A

🚗

v_A = 60 km/h

Mobile B

🚙

v_B = 40 km/h

Vitesse relative

↔️

v_AB = v_A - v_B

Étape 1 : Situation physique

Deux voitures A et B roulent sur une route rectiligne dans le même sens. La voiture A roule à 60 km/h et la voiture B à 40 km/h. Un observateur dans chaque voiture observe l'autre.

Référentiel R : Route fixe
Référentiel R_A : Voiture A
Référentiel R_B : Voiture B

Étape 2 : Vitesses dans le référentiel R (route)

Vitesse de A dans R : v_A/R = 60 km/h
Vitesse de B dans R : v_B/R = 40 km/h
Vitesse relative de A par rapport à B : v_A/B = v_A/R - v_B/R = 60 - 40 = 20 km/h

Étape 3 : Observations dans chaque repère

Observateur dans A : Voit B s'éloigner à 20 km/h dans le sens négatif (v_B/A = -20 km/h)
Observateur dans B : Voit A s'éloigner à 20 km/h dans le sens positif (v_A/B = +20 km/h)
Observateur dans R : Voit A à 60 km/h et B à 40 km/h

Étape 4 : Cas de mouvement en sens opposé

Si B roulait en sens opposé à A (v_B/R = -40 km/h) :
Vitesse relative : v_A/B = 60 - (-40) = 100 km/h
L'observateur dans A verrait B approcher à 100 km/h.

Étape 5 : Calcul des distances

Si les voitures sont initialement séparées de 100 m et roulent dans le même sens :
Distance relative augmentant à 20 km/h = 5.56 m/s
Temps pour doubler la distance : t = 100 m / 5.56 m/s ≈ 18 s

Mouvement relatif : v_A/B = v_A - v_B

Résultats :

La vitesse relative dépend des vitesses absolues dans le référentiel fixe.

Règles de mouvement relatif :

• Vitesse relative : v_AB = v_A - v_B

• Sens dépendant du repère : Signe dépend de l'observateur

• Accélération relative : a_AB = a_A - a_B

5 Applications pratiques

Définition :

Problème : Appliquer les concepts de référentiels et invariance à des situations réelles

Identifier la situation

Choisir le référentiel approprié

Appliquer les transformations

Interpréter les résultats

Étape 1 : Lancer d'un objet dans un train

Un passager dans un train roulant à 30 m/s lance verticalement une balle vers le haut à 10 m/s. Quelle est la trajectoire de la balle pour un observateur extérieur ?

Référentiel du train (R') : Balle monte verticalement puis redescend
Référentiel extérieur (R) : Balle suit une trajectoire parabolique

Étape 2 : Composition des vitesses

Vitesse initiale dans R' : v'₀ = (0, 10, 0) m/s
Vitesse du train : v_train = (30, 0, 0) m/s
Vitesse initiale dans R : v₀ = v'₀ + v_train = (30, 10, 0) m/s

Étape 3 : Équations du mouvement dans R

En négligeant la résistance de l'air et en considérant g = 9.8 m/s² vers le bas :

x(t) = 30t
y(t) = 10t - ½gt² = 10t - 4.9t²
z(t) = 0

Cette trajectoire est une parabole dans le plan (x,y).

Étape 4 : Autres applications

Situation	Référentiel	Observation
Lancer sur un bateau	Bateau vs rivage	Parabole vs droite
Mouvement d'une goutte	Train vs sol	Verticale vs oblique
Collision de véhicules	Centre de masse	Simplification

Étape 5 : Choix du référentiel optimal

Pour résoudre un problème de mécanique :

Choisir un référentiel Galiléen pour appliquer les lois de Newton
Choisir un référentiel où le mouvement est le plus simple (ex : centre de masse)
Transformations de Galilée pour passer d'un repère à un autre

Application : Choix du référentiel affecte la complexité du problème

Résultats :

Le choix du référentiel influence la complexité de la résolution mais pas la physique du problème.

Règles d'application :

• Choisir un repère Galiléen : Pour appliquer les lois de Newton

• Choisir un repère pratique : Pour simplifier les calculs

• Utiliser les transformations : Pour relier les observations

Cours bien détaillé

\frac{d}{dt}\left(\vec{r}_B\right) = \frac{d}{dt}\left(\vec{r}_A + \vec{v}_{AB} \cdot t\right) \Rightarrow \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{AB}

Dérivation des transformations de Galilée

📍

Référentiel : Système d'axes pour décrire le mouvement.

⚖️

Invariance : Propriétés conservées dans tous les repères.

🔄

Transformation : Changement de coordonnées entre repères.

🌐

Relativité : Dépendance du mouvement au repère choisi.

💡

Conseil : Toujours préciser le référentiel utilisé dans la description du mouvement

🔍

Attention : Les lois de Newton ne s'appliquent que dans les repères Galiléens

⚡

Astuce : Utilisez les transformations de Galilée pour changer de repère

📋

Méthode : Choisissez le référentiel qui simplifie le problème

✅

Vérification : L'accélération est invariante par transformation de Galilée

Méthodes d'analyse :

Identification du référentiel : Déterminer si le repère est Galiléen
Application des transformations : Utiliser les formules de Galilée
Vérification de l'invariance : Tester les grandeurs physiques
Interprétation des résultats : Tenir compte du point de vue de l'observateur

Règles importantes :

Le temps est absolu dans la transformation de Galilée
L'accélération est invariante par changement de repère Galiléen
Les forces sont invariantes dans les transformations de Galilée
Les lois de Newton sont valables dans tous les repères Galiléens

Points clés à retenir :

Relativité galiléenne : Les lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les repères Galiléens
Transformation de Galilée : x' = x - vt, t' = t
Grandeurs invariantes : Temps, distances fixes, accélérations, forces
Grandeurs variantes : Positions, vitesses, énergies

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