Système de coordonnées : Ensemble constitué d'une origine et d'axes permettant de repérer un point dans l'espace.
- Choisir l'origine : Point de référence O
- Définir l'axe : Axe (Ox) dans la direction du mouvement
- Fixer l'échelle : Unité de longueur (mètre)
- Repérer le point : Position x(t) à chaque instant
On choisit un point O comme origine sur la trajectoire rectiligne
On oriente l'axe (Ox) dans le sens du mouvement
À chaque instant t, le mobile est repéré par sa position x(t)
Si le mobile part de x₀ = 2 m et se déplace à 3 m/s : x(t) = 2 + 3t
Un seul axe suffit pour repérer un mouvement rectiligne
Le mobile est repéré par sa position x(t) sur l'axe (Ox) orienté dans le sens du mouvement
• Origine : Point fixe de référence
• Axe : Direction orientée pour mesurer les positions
• Coordonnées : Valeur algébrique de la position
Repère cartésien : Système constitué d'une origine O et d'une base orthonormée (⃗i, ⃗j, ⃗k).
Identifier la nature du mouvement (rectiligne, curviligne, plan, spatial)
Placer l'origine O à un point pertinent (position initiale, centre de symétrie...)
Aligner les axes avec les directions caractéristiques du mouvement
Choisir une unité commune pour toutes les directions
Exprimer les coordonnées (x, y, z) en fonction du temps
Le choix du repère dépend de la nature du mouvement et doit simplifier les calculs
• Adaptation : Le repère doit être adapté au problème
• Orthogonalité : Les axes doivent être perpendiculaires
• Orientation : Respecter la règle de la main droite pour la base (⃗i, ⃗j, ⃗k)
Base orthonormée : Ensemble de 3 vecteurs unitaires (⃗i, ⃗j, ⃗k) orthogonaux entre eux.
⃗i, ⃗j, ⃗k sont des vecteurs unitaires orthogonaux : ||⃗i|| = ||⃗j|| = ||⃗k|| = 1
⃗i ⊥ ⃗j, ⃗j ⊥ ⃗k, ⃗k ⊥ ⃗i, et ⃗i ∧ ⃗j = ⃗k (produit vectoriel)
Tout vecteur ⃗v se décompose selon : ⃗v = vₓ⃗i + vᵧ⃗j + v₂⃗k
vₓ = ⃗v·⃗i, vᵧ = ⃗v·⃗j, v₂ = ⃗v·⃗k (produits scalaires)
||⃗v|| = √(vₓ² + vᵧ² + v₂²)
La base orthonormée permet de décomposer n'importe quel vecteur en 3 composantes
• Unitarité : Les vecteurs de base ont une norme égale à 1
• Orthogonalité : Les vecteurs sont perpendiculaires entre eux
• Décomposition : Permet d'exprimer les grandeurs vectorielles
Coordonnées cartésiennes : Ensemble de 3 nombres (x, y, z) qui repèrent un point dans l'espace.
On définit un repère (O, ⃗i, ⃗j, ⃗k) avec O comme origine
Le point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z)
Le vecteur position est ⃗OM = x⃗i + y⃗j + z⃗k
La distance OM = √(x² + y² + z²)
Pour M(3, 4, 5) : ⃗OM = 3⃗i + 4⃗j + 5⃗k et OM = √(9+16+25) = √50 ≈ 7.07 m
Les coordonnées (x, y, z) permettent de repérer exactement la position d'un point dans l'espace
• Triplet unique : Chaque point correspond à un triplet unique (x, y, z)
• Bijectivité : Correspondance unique entre point et coordonnées
• Calcul : Facilité des opérations vectorielles
Changement de repère : Transformation des coordonnées d'un point lorsqu'on change de système de référence.
Soit un point M repéré dans le repère (O, ⃗i, ⃗j, ⃗k) par (x, y, z)
On considère un nouveau repère (O', ⃗i', ⃗j', ⃗k')
⃗OM = ⃗OO' + ⃗O'M, donc ⃗O'M = ⃗OM - ⃗OO'
Si O'(a, b, c) et M(x, y, z) dans (O, ⃗i, ⃗j, ⃗k), alors M(x-a, y-b, z-c) dans (O', ⃗i, ⃗j, ⃗k)
Si les axes sont aussi tournés, il faut effectuer une rotation de base
Le changement de repère permet de passer d'un système de coordonnées à un autre
• Translation : Simple décalage de l'origine
• Rotation : Changement d'orientation des axes
• Invariance : Le point M est le même, mais ses coordonnées changent
Repérage curviligne : Utilisation de la distance parcourue le long de la trajectoire.
On utilise toujours un repère cartésien (O, ⃗i, ⃗j, ⃗k) pour repérer le point
Les coordonnées x(t), y(t), z(t) dépendent du temps
s(t) mesure la distance parcourue le long de la trajectoire
⃗v(t) = dx/dt⃗i + dy/dt⃗j + dz/dt⃗k
Entre t₁ et t₂ : L = ∫[t₁,t₂] ||⃗v(t)|| dt
Le repérage sur une trajectoire curviligne utilise à la fois les coordonnées cartésiennes et l'abscisse curviligne
• Paramétrage : Les coordonnées dépendent explicitement du temps
• Longueur : Calculée par intégration de la norme de la vitesse
• Flexibilité : Adaptation au type de trajectoire
Coordonnées cartésiennes : Système de coordonnées basé sur des distances mesurées le long d'axes orthogonaux.
Trois axes (Ox), (Oy), (Oz) perpendiculaires entre eux
Les mêmes unités de longueur sur chaque axe
Respect de la règle de la main droite (⃗i ∧ ⃗j = ⃗k)
Coordonnées obtenues par projection orthogonale sur chaque axe
Addition vectorielle, norme, produit scalaire sont simples
Le système cartésien est le plus courant pour repérer les points dans l'espace
• Orthogonalité : Axes perpendiculaires pour simplifier les calculs
• Linéarité : Relations simples entre coordonnées et vecteurs
• Universel : Valable pour tout type de mouvement
Repère adapté : Système de coordonnées aligné avec les directions caractéristiques du problème.
On place l'origine sur le plan incliné, axe Ox parallèle au plan, axe Oy perpendiculaire
Axe Ox dans le sens du mouvement prévu, axe Oy perpendiculaire au plan
La force de pesanteur se décompose simplement dans ce repère
Mouvement parallèle et perpendiculaire traités séparément
Équations du mouvement simplifiées par le choix du repère
Le repère adapté au plan incliné simplifie la résolution des problèmes de mécanique
• Adaptation : Le repère doit être adapté à la géométrie du problème
• Simplification : Choix judicieux réduit la complexité des équations
• Stratégie : Facilite la projection des forces
Coordonnées polaires : Système de coordonnées dans le plan défini par une distance et un angle.
Un point M est repéré par r (distance à l'origine) et θ (angle avec l'axe Ox)
x = r cos(θ), y = r sin(θ), r = √(x² + y²), θ = arctan(y/x)
Base mobile (⃗eᵣ, ⃗eᵨ) avec ⃗eᵣ radial et ⃗eᵨ tangentiel
Simplicité pour les mouvements circulaires ou à symétrie sphérique
Moins pratique pour les mouvements rectilignes
Les coordonnées polaires sont adaptées aux mouvements présentant une symétrie centrale
• Symétrie : Idéal pour les mouvements circulaires
• Base mobile : ⃗eᵣ et ⃗eᵨ changent d'orientation avec θ
• Conversion : Passage facile aux coordonnées cartésiennes
Mouvement circulaire : Trajectoire circulaire autour d'un point fixe (centre).
Origine au centre du cercle, axes dans le plan de la trajectoire
Position définie par l'angle θ(t) et le rayon constant R
⃗OM = R cos(θ(t))⃗i + R sin(θ(t))⃗j
⃗v = R dθ/dt[-sin(θ)⃗i + cos(θ)⃗j] = Rω⃗eᵨ (si ω=dθ/dt)
⃗a = -Rω²⃗eᵣ + R dω/dt⃗eᵨ (accélération centripète + tangentielle)
Le repérage dans un mouvement circulaire utilise avantageusement les coordonnées polaires
• Paramétrage angulaire : Angle θ(t) variable dans le temps
• Rayon constant : R ne change pas dans un mouvement circulaire
• Base locale : ⃗eᵣ radial, ⃗eᵨ tangentiel
