Taux de variation moyen : \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) entre deux points a et b.
a = 1, b = 4, donc on calcule le taux entre x=1 et x=4
f(1) = 2(1) + 3 = 5, f(4) = 2(4) + 3 = 11
Taux = \(\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{11 - 5}{3} = \frac{6}{3} = 2\)
Le taux de variation est constant et égal à 2, ce qui correspond à la pente de la droite.
Pour une fonction affine f(x) = ax + b, le taux de variation est toujours a = 2.
Le taux de variation de f(x) = 2x + 3 entre x=1 et x=4 est de 2.
• Formule : Taux = \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
• Fonction affine : Le taux de variation est constant et égal à la pente
• Interprétation : Le taux de variation est la pente de la sécante
Fonction quadratique : f(x) = x², le taux de variation n'est pas constant.
a = 2, b = 5, donc on calcule le taux entre x=2 et x=5
f(2) = 2² = 4, f(5) = 5² = 25
Taux = \(\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{25 - 4}{3} = \frac{21}{3} = 7\)
Le taux de variation est de 7, ce qui est supérieur à celui entre x=1 et x=2.
Entre x=1 et x=2 : Taux = \(\frac{4-1}{2-1} = 3\), donc le taux augmente.
Le taux de variation de f(x) = x² entre x=2 et x=5 est de 7.
• Formule : Taux = \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
• Fonction quadratique : Le taux de variation varie selon l'intervalle
• Interprétation : Plus x est grand, plus le taux de variation augmente
Fonction affine décroissante : T(t) = -2t + 20, avec taux de variation négatif.
T(t) = -2t + 20, où t est le temps en heures et T la température en °C
Pour une fonction affine f(t) = at + b, le taux est a = -2
Le taux est négatif (-2), donc la température diminue.
La température diminue de 2°C par heure.
Le phénomène représente un refroidissement linéaire de 2°C par heure.
Le taux de variation est de -2°C/h, indiquant un refroidissement constant.
• Signe du taux : Positif ⇒ augmentation, Négatif ⇒ diminution
• Valeur absolue : Indique l'amplitude de la variation
• Unités : Le taux a des unités (ici °C/h)
Fonction exponentielle : P(t) = 1000·e^(0.05t), modèle de croissance financière.
a = 0, b = 2, donc on calcule le taux entre t=0 et t=2
P(0) = 1000·e^0 = 1000, P(2) = 1000·e^(0.1) ≈ 1000·1.105 ≈ 1105.17
Taux = \(\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = \frac{1105.17 - 1000}{2} = \frac{105.17}{2} = 52.59\)
Le capital augmente en moyenne de 52.59€ par an sur les 2 premières années.
Initialement, le taux de variation est de 50€/an (0.05×1000), donc il augmente.
Le taux de variation de P(t) entre t=0 et t=2 est de 52.59€/an.
• Formule : Taux = \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
• Fonction exponentielle : Le taux de variation moyen augmente avec le temps
• Interprétation : Le taux de variation moyen est différent du taux instantané
Comparaison : f(x) = 3x (linéaire) vs g(x) = x² (quadratique).
f(x) = 3x (fonction linéaire), g(x) = x² (fonction quadratique)
Taux_f = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{12-3}{3} = 3\)
Taux_g = \(\frac{g(4)-g(1)}{4-1} = \frac{16-1}{3} = 5\)
Sur [1,4], g(x)=x² a un taux de variation plus élevé que f(x)=3x.
Alors que f a un taux constant, g a un taux qui augmente avec x.
Sur l'intervalle [1,4], g(x)=x² a un taux de variation (5) supérieur à f(x)=3x (3).
• Fonction linéaire : Taux constant égal à la pente
• Fonction quadratique : Taux qui augmente avec x
• Comparaison : Le taux dépend de l'intervalle choisi
Fonction de position : d(t) = 5t² + 10t, où d est la distance en mètres.
d(t) = 5t² + 10t, où d est la distance en mètres et t le temps en secondes
d(1) = 5(1)² + 10(1) = 15m, d(3) = 5(9) + 10(3) = 75m
Taux = \(\frac{d(3)-d(1)}{3-1} = \frac{75-15}{2} = 30\) m/s
Ce taux de variation représente la vitesse moyenne entre t=1s et t=3s.
La vitesse moyenne est de 30 m/s, ce qui est élevé pour un mouvement quadratique.
Le taux de variation de d(t) entre t=1s et t=3s est de 30 m/s (vitesse moyenne).
• Physique : Taux de variation de la position = vitesse
• Unités : Distance/temps = vitesse
• Interprétation : Le taux de variation a une signification physique
Population : P(t) = 1000 + 50t - 2t², modèle de croissance avec limitation.
P(t) = 1000 + 50t - 2t², où t est le temps en années
P(5) = 1000 + 50(5) - 2(25) = 1200, P(10) = 1000 + 500 - 200 = 1300
Taux = \(\frac{P(10)-P(5)}{10-5} = \frac{1300-1200}{5} = 20\) individus/an
La population augmente en moyenne de 20 individus par an entre les années 5 et 10.
Le terme -2t² ralentit la croissance, contrairement à un modèle purement linéaire.
Le taux de variation de la population entre t=5 et t=10 est de +20 individus/an.
• Modèle quadratique : Combinaison de croissance linéaire et limitation
• Interprétation : Le taux peut être positif même si la croissance ralentit
• Contexte : Le modèle reflète des ressources limitées
Production : Q(h) = 100h - h², où Q est la quantité produite en unités.
Q(h) = 100h - h², où h est le nombre d'heures de travail
Q(10) = 100(10) - 100 = 900, Q(20) = 100(20) - 400 = 1600
Taux = \(\frac{Q(20)-Q(10)}{20-10} = \frac{1600-900}{10} = 70\) unités/h
La production augmente en moyenne de 70 unités par heure supplémentaire entre 10h et 20h.
Le terme -h² représente une diminution de productivité à cause de la fatigue.
Le taux de variation de la production entre 10h et 20h est de 70 unités/h.
• Productivité : Le taux de variation mesure l'efficacité
• Modèle : La fonction quadratique modélise la saturation
• Unités : Unités de production par unité de temps
Coût de production : C(q) = 1000 + 5q + 0.1q², où q est la quantité produite.
C(q) = 1000 + 5q + 0.1q², où q est la quantité en unités
C(50) = 1000 + 250 + 250 = 1500, C(100) = 1000 + 500 + 1000 = 2500
Taux = \(\frac{C(100)-C(50)}{100-50} = \frac{2500-1500}{50} = 20\) €/unité
Le coût moyen augmente de 20€ par unité supplémentaire entre 50 et 100 unités.
Le terme 0.1q² indique des coûts marginaux croissants avec la production.
Le taux de variation du coût entre 50 et 100 unités est de 20€/unité.
• Coût moyen : Taux de variation du coût total
• Contexte économique : Le taux indique l'efficacité de production
• Modèle quadratique : Représente des rendements d'échelle
Fonction trigonométrique : f(x) = 10sin(x) + 5, variation cyclique.
f(x) = 10sin(x) + 5, fonction périodique avec oscillations
f(0) = 10sin(0) + 5 = 5, f(π/2) = 10sin(π/2) + 5 = 15
Taux = \(\frac{f(π/2)-f(0)}{π/2-0} = \frac{15-5}{π/2} = \frac{10}{π/2} = \frac{20}{π} ≈ 6.37\)
La fonction augmente en moyenne de 20/π ≈ 6.37 unités par unité de x.
Le taux de variation dépend de l'intervalle choisi à cause de la nature oscillante.
Le taux de variation de f(x) = 10sin(x) + 5 entre 0 et π/2 est de 20/π ≈ 6.37.
• Fonction trigonométrique : Le taux varie selon l'intervalle
• Périodicité : Le taux dépend de la phase du cycle
• Interprétation : Le taux moyen peut masquer des variations locales
