Modèle linéaire : P(t) = 10 + 2t, croissance constante de 2 cm par jour.
Remplacer la variable t par la valeur demandée dans l'expression de la fonction.
P(t) = 10 + 2t, où t est le temps en jours
t = 15 jours
P(15) = 10 + 2(15) = 10 + 30 = 40 cm
La plante mesure 40 cm après 15 jours.
• Modélisation linéaire : Utilisée pour les croissances constantes
• Calcul : Remplacer t par la valeur demandée
• Interprétation : La plante grandit de 2 cm par jour
Modèle exponentiel : P(t) = 1000·e^(0.03t), croissance de 3% par an.
P(t) = 1000·e^(0.03t), où t est le temps en années
t = 10 ans
P(10) = 1000·e^(0.03×10) = 1000·e^0.3 ≈ 1000×1.3499 ≈ 1350 individus
La population est d'environ 1350 individus après 10 ans.
• Modélisation exponentielle : Utilisée pour les croissances rapides
• Calcul : Remplacer t et utiliser la fonction exponentielle
• Interprétation : Le taux de croissance est proportionnel à la population
Modèle exponentiel décroissant : T(t) = 25·e^(-0.1t), décroissance de 10% par heure.
T(t) = 25·e^(-0.1t), où t est le temps en heures
t = 5 heures
T(5) = 25·e^(-0.1×5) = 25·e^(-0.5) ≈ 25×0.6065 ≈ 15.2°C
La température est d'environ 15.2°C après 5 heures.
• Modélisation exponentielle décroissante : k < 0 pour une décroissance
• Calcul : Remplacer t et utiliser la fonction exponentielle
• Interprétation : La température diminue de manière exponentielle
Modèle linéaire : C(t) = 500 + 25t, gain constant de 25€ par mois.
C(t) = 500 + 25t, où t est le temps en mois
t = 8 mois
C(8) = 500 + 25(8) = 500 + 200 = 700€
Le capital est de 700€ après 8 mois.
• Modélisation linéaire : Utilisée pour les gains constants
• Calcul : Remplacer t par la valeur demandée
• Interprétation : Le capital augmente de 25€ par mois
Modèle exponentiel : B(t) = 50·e^(0.2t), croissance de 20% par heure.
B(t) = 50·e^(0.2t), où t est le temps en heures
t = 3 heures
B(3) = 50·e^(0.2×3) = 50·e^0.6 ≈ 50×1.8221 ≈ 91 bactéries
Il y a environ 91 bactéries après 3 heures.
• Modélisation exponentielle : Utilisée pour les croissances biologiques
• Calcul : Remplacer t et utiliser la fonction exponentielle
• Interprétation : La population double environ toutes les 3.5 heures
Modèle exponentiel décroissant : D(t) = 100·e^(-0.05t), décharge de 5% par heure.
D(t) = 100·e^(-0.05t), où t est le temps en heures
t = 10 heures
D(10) = 100·e^(-0.05×10) = 100·e^(-0.5) ≈ 100×0.6065 ≈ 60.7%
Le niveau est d'environ 60.7% après 10 heures.
• Modélisation exponentielle décroissante : k < 0 pour une décroissance
• Calcul : Remplacer t et utiliser la fonction exponentielle
• Interprétation : La batterie se décharge exponentiellement
Modèle linéaire : M(t) = 2000 + 100t, gain constant de 100€ par mois.
M(t) = 2000 + 100t, où t est le temps en mois
t = 12 mois
M(12) = 2000 + 100(12) = 2000 + 1200 = 3200€
Le montant est de 3200€ après 12 mois.
• Modélisation linéaire : Utilisée pour les gains constants
• Calcul : Remplacer t par la valeur demandée
• Interprétation : Le montant augmente de 100€ par mois
Fonction affine : Déterminée par deux points : (0, 15) et (5, 40).
(t₁, y₁) = (0, 15) et (t₂, y₂) = (5, 40)
a = (y₂ - y₁)/(t₂ - t₁) = (40 - 15)/(5 - 0) = 25/5 = 5
b = y₁ = 15 (puisque t₁ = 0)
f(t) = 5t + 15
f(t) = 5t + 15, croissance linéaire de 5 unités par unité de temps.
• Détermination : Une fonction affine est déterminée par deux points
• Coefficient directeur : a = (y₂ - y₁)/(t₂ - t₁)
• Ordonnée à l'origine : b = f(0) = y₁ si t₁ = 0
Modèle exponentiel décroissant : R(t) = 100·e^(-0.08t), décroissance de 8% par minute.
R(t) = 100·e^(-0.08t), où t est le temps en minutes
t = 15 minutes
R(15) = 100·e^(-0.08×15) = 100·e^(-1.2) ≈ 100×0.3012 ≈ 30.1%
La concentration est d'environ 30.1% après 15 minutes.
• Modélisation exponentielle décroissante : k < 0 pour une décroissance
• Calcul : Remplacer t et utiliser la fonction exponentielle
• Interprétation : La réaction suit une cinétique exponentielle
Comparaison : f(t) = 100 + 5t (linéaire) vs g(t) = 50·e^(0.05t) (exponentielle).
f(20) = 100 + 5(20) = 100 + 100 = 200
g(20) = 50·e^(0.05×20) = 50·e^1 ≈ 50×2.7183 ≈ 135.9
f(20) = 200 > g(20) ≈ 135.9
Pour t = 20, la fonction affine est supérieure à la fonction exponentielle
Pour t = 20, f(t) = 200 > g(t) ≈ 135.9, donc la fonction affine est supérieure.
• Comparaison ponctuelle : Calculer les valeurs pour la même abscisse
• Comparaison asymptotique : L'exponentielle finira par dépasser l'affine
• Comportement global : L'exponentielle domine toujours l'affine à long terme
