Modèle financier : Épargne régulière avec augmentation constante du capital.
Identifier la valeur initiale (solde initial) et la variation constante (versement mensuel).
u₀ = 500€ (solde initial), r = 100€ (versement mensuel)
n = 12 mois
\(u_{12} = u_0 + 12r = 500 + 12 \times 100\)
\(u_{12} = 500 + 1200 = 1700\)€
Le solde sera de 1700€ après 12 mois.
• Modélisation : Évolution linéaire du capital → suite arithmétique
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition de la valeur initiale et des versements cumulés
Modèle biologique : Croissance linéaire avec taux constant.
u₀ = 15cm (hauteur actuelle), r = 3cm (croissance hebdomadaire)
n = 8 semaines
\(u_8 = u_0 + 8r = 15 + 8 \times 3\)
\(u_8 = 15 + 24 = 39\)cm
La plante mesurera 39cm dans 8 semaines.
• Croissance linéaire : Accroissement constant → suite arithmétique
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition de la hauteur initiale et de la croissance totale
Phénomène thermique : Diminution constante de température.
u₀ = 25°C (température à midi), r = -2°C (baisse horaire)
De midi (12h) à 19h : 19 - 12 = 7 heures
\(u_7 = u_0 + 7r = 25 + 7 \times (-2)\)
\(u_7 = 25 - 14 = 11\)°C
La température sera de 11°C à 19h.
• Variation constante : Diminution régulière → suite arithmétique avec raison négative
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Attention au signe de la raison
Modèle démographique : Croissance régulière de la population.
u₀ = 45000 (population en 2020), r = 800 (accroissement annuel)
De 2020 à 2025 : 2025 - 2020 = 5 ans
\(u_5 = u_0 + 5r = 45000 + 5 \times 800\)
\(u_5 = 45000 + 4000 = 49000\) habitants
La ville comptera 49000 habitants en 2025.
• Accroissement constant : Modèle linéaire de croissance → suite arithmétique
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition de la population initiale et des naissances nettes
Phénomène de décroissance : Diminution constante de volume.
u₀ = 1000L (volume initial), r = -5L (perte journalière)
n = 15 jours
\(u_{15} = u_0 + 15r = 1000 + 15 \times (-5)\)
\(u_{15} = 1000 - 75 = 925\)L
Le réservoir contiendra 925L après 15 jours.
• Diminution constante : Suite arithmétique avec raison négative
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Soustraction de la perte totale au volume initial
Amélioration linéaire : Progression constante des performances.
25 minutes = 25 × 60 = 1500 secondes
u₀ = 1500s (temps initial), r = -30s (amélioration hebdomadaire)
n = 6 semaines
\(u_6 = u_0 + 6r = 1500 + 6 \times (-30)\)
\(u_6 = 1500 - 180 = 1320\) secondes
1320 ÷ 60 = 22 minutes
Le coureur aura un temps de 22 minutes dans 6 semaines.
• Unités : Convertir tout dans la même unité (secondes)
• Amélioration : Gain de temps → raison négative
• Calcul : Conversion finale pour meilleure lisibilité
Augmentation commerciale : Croissance régulière des ventes.
u₀ = 200 (ventes en janvier), r = 50 (augmentation mensuelle)
De janvier à septembre : janvier=0, février=1, ..., septembre=8
\(u_8 = u_0 + 8r = 200 + 8 \times 50\)
\(u_8 = 200 + 400 = 600\) articles
L'entreprise vendra 600 articles en septembre.
• Indexation : Janvier = 0, février = 1, ..., septembre = 8
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition des ventes initiales et de la croissance
Dégradation progressive : Diminution constante de l'éclairage.
u₀ = 800 lumens (intensité initiale), r = -10 lumens (perte annuelle)
n = 4 ans
\(u_4 = u_0 + 4r = 800 + 4 \times (-10)\)
\(u_4 = 800 - 40 = 760\) lumens
L'ampoule émettra 760 lumens dans 4 ans.
• Dégradation : Diminution constante → raison négative
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Soustraction de la perte totale à l'intensité initiale
Acquisition linéaire : Augmentation constante des connaissances.
u₀ = 1000 mots (vocabulaire initial), r = 15 mots (apprentissage quotidien)
n = 20 jours
\(u_{20} = u_0 + 20r = 1000 + 20 \times 15\)
\(u_{20} = 1000 + 300 = 1300\) mots
L'étudiant connaîtra 1300 mots après 20 jours.
• Accroissement : Acquisition constante → raison positive
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition du vocabulaire initial et des mots appris
Augmentation productive : Croissance régulière de la production.
u₀ = 100 pièces (production du premier jour), r = 20 pièces (augmentation quotidienne)
Le 10ème jour correspond à n = 9 (car le premier jour est n = 0)
\(u_9 = u_0 + 9r = 100 + 9 \times 20\)
\(u_9 = 100 + 180 = 280\) pièces
La machine produira 280 pièces le 10ème jour.
• Indexation : Premier jour = n = 0, 10ème jour = n = 9
• Formule : uₙ = u₀ + nr
• Calcul : Addition de la production initiale et de l'augmentation cumulative
