Milieu d'un Segment - Calcul des Coordonnées | Géométrie Plane Seconde

Introduction au calcul des coordonnées du milieu d'un segment

MILIEU D'UN SEGMENT - COORDONNÉES
Géométrie plane - Milieu, distance, équation de droite

Découvrez la formule pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Milieu
Segment
Repère

Définition du milieu d'un segment

Concept fondamental

DÉFINITION GÉNÉRALE
Définition

Le milieu d'un segment [AB] est le point I de ce segment qui est équidistant de A et de B.

Autrement dit, I est le milieu de [AB] si et seulement si :

  • I appartient au segment [AB]
  • IA = IB (I est à égale distance de A et de B)

Le point I partage le segment [AB] en deux parties égales.

Représentation du milieu d'un segment [AB]
A
B
I
AI
IB
Le milieu d'un segment est le point qui divise le segment en deux parties égales.
Propriété caractéristique

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si :

\( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \) ou \( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \)

Cela signifie que I est à égale distance de A et de B.

Formule des coordonnées du milieu

Calcul dans un repère

FORMULE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ
Coordonnées du milieu

Soit A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points du plan.

Soit I le milieu du segment [AB].

Les coordonnées du point I sont données par :

\( I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Autrement dit :

  • L'abscisse du milieu est la moyenne des abscisses des extrémités
  • L'ordonnée du milieu est la moyenne des ordonnées des extrémités
Exemple de calcul des coordonnées du milieu
A(xA, yA)
B(xB, yB)
I(xI, yI)
EXEMPLE DE CALCUL
Exemple 1

Soient les points A(2, 3) et B(6, 7).

Calculons les coordonnées du milieu I du segment [AB] :

\( x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Donc I a pour coordonnées (4, 5).

Exemple 2

Soient les points C(-1, 4) et D(3, -2).

Calculons les coordonnées du milieu J du segment [CD] :

\( x_J = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_J = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Donc J a pour coordonnées (1, 1).

Propriétés du milieu

Caractéristiques importantes

PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES
Équidistance

Le milieu d'un segment est équidistant des extrémités du segment.

Si I est le milieu de [AB], alors IA = IB.

Symétrie

Le milieu d'un segment est le centre de symétrie du segment.

Le symétrique de A par rapport à I est B, et le symétrique de B par rapport à I est A.

Barycentre

Le milieu d'un segment [AB] est le barycentre des points A et B affectés du même coefficient.

On dit que I est le barycentre de (A,1) et (B,1).

Relation vectorielle

Si I est le milieu de [AB], alors :

\( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \)

Ou encore : \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \)

Le milieu est un point central dans de nombreuses configurations géométriques !

Applications concrètes

Utilisations pratiques

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
Identifier des figures géométriques

Les coordonnées du milieu permettent de :

  • Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
  • Identifier le centre de symétrie d'une figure
  • Calculer des coordonnées manquantes
  • Représenter des figures dans un repère
PROBLÈMES DE VIE COURANTE
Applications concrètes
  • 1 Dessin technique et architecture
  • 2 Positionnement GPS et navigation
  • 3 Dessin vectoriel et infographie
  • 4 Modélisation géométrique

Exercice d'application

Problème complet

ÉNONCÉ
Question

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1, 2), B(4, 1), C(6, 4) et D(3, 5).

1. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].

2. Calculer les coordonnées du milieu J du segment [BD].

3. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABCD ?

4. Calculer la longueur du segment [IJ].

Solution de l'exercice

Correction détaillée

QUESTION 1 : COORDONNÉES DE I
Calcul du milieu de [AC]

On a A(1, 2) et C(6, 4).

Les coordonnées du milieu I sont :

\( x_I = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \)
\( y_I = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Donc I a pour coordonnées (3.5, 3).

QUESTION 2 : COORDONNÉES DE J
Calcul du milieu de [BD]

On a B(4, 1) et D(3, 5).

Les coordonnées du milieu J sont :

\( x_J = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \)
\( y_J = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Donc J a pour coordonnées (3.5, 3).

QUESTION 3 : NATURE DU QUADRILATÈRE
Conclusion sur ABCD

On constate que I et J ont les mêmes coordonnées : I(3.5, 3) et J(3.5, 3).

Donc I = J, ce qui signifie que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu.

On en déduit que ABCD est un parallélogramme.

QUESTION 4 : LONGUEUR DU SEGMENT [IJ]
Calcul de IJ

Comme I et J sont confondus (I = J), la longueur du segment [IJ] est nulle.

Donc : IJ = 0.

Résumé

Points clés

FORMULE DU MILIEU
Coordonnées du milieu

Soient A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points du plan.

Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :

\( I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)
PROPRIÉTÉS DU MILIEU
Caractéristiques importantes
  • Le milieu est équidistant des extrémités
  • Il partage le segment en deux parties égales
  • Il est le centre de symétrie du segment
  • Il est le barycentre des extrémités avec coefficients égaux
Le milieu d'un segment est un point fondamental en géométrie analytique !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DU CALCUL DES COORDONNÉES DU MILIEU
Vous comprenez maintenant comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment !

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