Représentation sur la droite graduée
Introduction
BONJOUR ET BIENVENUE !
REPRÉSENTATION DES SOLUTIONS
Visualisation des solutions d'inéquations
Découvrez comment représenter les solutions d'inéquations sur une droite graduée
Inéquations
Intervalles
Représentation
Définition de la droite graduée
Qu'est-ce qu'une droite graduée ?
DÉFINITION
La droite graduée
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
- Un point origine O (correspondant au nombre 0)
- Un sens de lecture (généralement de gauche à droite)
- Une unité de longueur
Chaque point de la droite correspond à un nombre réel et réciproquement.
Exemple : Sur une droite graduée, le point A d'abscisse 3 est situé 3 unités à droite de l'origine
Symboles et conventions
Points et intervalles
SYMBOLES À CONNAÎTRE
Différence entre points pleins et vides
- Point plein (•) : Indique que la valeur est incluse dans l'ensemble (≤ ou ≥)
- Point vide (○) : Indique que la valeur est exclue de l'ensemble (< ou >)
- Crochet [ ] : Indique une borne incluse
- Parenthèse ) ( : Indique une borne exclue
INTERVALLES
Types d'intervalles
- \( [a ; b] \) : ensemble des x tels que \( a \leq x \leq b \) (bornes incluses)
- \( ]a ; b[ \) : ensemble des x tels que \( a < x < b \) (bornes exclues)
- \( [a ; +\infty[ \) : ensemble des x tels que \( x \geq a \)
- \( ]-\infty ; a] \) : ensemble des x tels que \( x \leq a \)
Représentation d'une inéquation simple
Premier exemple
EXEMPLE : x > 2
Représentation de x > 2
Pour représenter x > 2 sur une droite graduée :
- Placer le point 2 sur la droite
- Utiliser un point vide (○) car 2 n'est pas inclus (inégalité stricte)
- Tracer une demi-droite vers la droite à partir de ce point
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
x > 2
Autres types d'inéquations
Différentes situations
EXEMPLE 1 : x ≤ 3
Représentation de x ≤ 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
x ≤ 3
EXEMPLE 2 : -1 < x ≤ 4
Représentation de -1 < x ≤ 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
4
-1 < x ≤ 4
Méthodologie de représentation
Étapes de la représentation
PROCÉDURE PAS À PAS
Méthode générale
- 1 Résoudre l'inéquation pour isoler x
- 2 Identifier le type d'inégalité (≤, <, ≥, >)
- 3 Placer la ou les valeurs limites sur la droite graduée
- 4 Utiliser un point plein (•) pour ≤ ou ≥, point vide (○) pour < ou >
- 5 Tracer la portion de droite correspondant à l'ensemble des solutions
- 6 Indiquer clairement l'intervalle sur la droite
EXEMPLE PRATIQUE
Représenter 2x - 3 > 5
Étape 1 : Résolution : 2x > 8 → x > 4
Étape 2 : Inégalité stricte (>) → point vide
Étape 3 : Point à 4 (vide), demi-droite vers la droite
Résultat : x ∈ ]4 ; +∞[
Intervalles bornés
Intervalles avec deux bornes
TYPES D'INTERVALLES BORNÉS
Classification
- Segment : [a ; b] (bornes incluses)
- Intervalle ouvert : ]a ; b[ (bornes exclues)
- Intervalle semi-ouvert : [a ; b[ ou ]a ; b] (une borne incluse, une exclue)
EXEMPLES
Représentation de -2 ≤ x < 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
3
-2 ≤ x < 3
Intervalles non bornés
Intervalles avec une seule borne
TYPES D'INTERVALLES NON BORNÉS
Classification
- Demi-droite fermée : [a ; +∞[ ou ]-∞ ; a]
- Demi-droite ouverte : ]a ; +∞[ ou ]-∞ ; a[
- Entière droite réelle : ]-∞ ; +∞[ = ℝ
EXEMPLES
Représentation de x ≥ -1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
x ≥ -1
Applications concrètes
Problèmes concrets
PROBLÈME 1 : Budget
Un budget mensuel
Une personne dispose de 1000€ par mois. Elle dépense 300€ pour le loyer et 10€ par jour pour la nourriture. Combien de jours peut-elle manger au maximum ?
Modélisation : Soit x le nombre de jours
Inéquation : 300 + 10x ≤ 1000
Résolution : 10x ≤ 700 → x ≤ 70
Représentation : x ∈ [0 ; 70] (car x ≥ 0)
Réponse : Maximum 70 jours (représenté sur la droite graduée)
PROBLÈME 2 : Température
Intervalle de température
Une machine doit fonctionner entre 15°C et 35°C. Représenter sur une droite graduée l'intervalle des températures acceptables.
0
10
15
20
25
30
35
40
15°C
35°C
15 ≤ T ≤ 35
Erreurs fréquentes
Pièges à éviter
ERREURS COMMUNES
Erreurs à ne pas commettre
- 1 Confondre point plein et point vide ❌
- 2 Oublier de tenir compte du sens de l'inégalité
- 3 Ne pas respecter la direction de l'intervalle
- 4 Mal positionner les points sur la droite
CORRECTIONS
Bonnes pratiques
- Point plein pour ≤ ou ≥, point vide pour < ou > ✅
- Identifier clairement le sens de l'inégalité ✅
- Représenter la direction correcte de l'intervalle ✅
- Vérifier la position des points sur la graduation ✅
Exercices d'application
Problèmes à résoudre
EXERCICES DE BASE
Représenter les solutions suivantes
1. \( x \geq -2 \)
2. \( x < 4 \)
3. \( -3 < x \leq 1 \)
4. \( 2 \leq x < 5 \)
EXERCICES AVANCÉS
Problèmes concrets
5. Un rectangle a une largeur de 3 cm et une aire comprise entre 12 cm² et 24 cm². Quelles sont les valeurs possibles de la longueur ? Représenter sur une droite graduée.
6. Un cycliste roule à une vitesse comprise entre 15 km/h et 25 km/h. Pour parcourir 60 km, combien de temps peut-il mettre ? Représenter l'intervalle de temps possible.
Solutions des exercices
Corrections détaillées
EXERCICE 1 : x ≥ -2
Correction
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-2
x ≥ -2
Réponse : x ∈ [-2 ; +∞[
EXERCICE 2 : x < 4
Correction
0
1
2
3
4
5
6
4
x < 4
Réponse : x ∈ ]-∞ ; 4[
EXERCICE 3 : -3 < x ≤ 1
Correction
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-3
1
-3 < x ≤ 1
Réponse : x ∈ ]-3 ; 1]
EXERCICE 4 : 2 ≤ x < 5
Correction
0
1
2
3
4
5
6
2
5
2 ≤ x < 5
Réponse : x ∈ [2 ; 5[
EXERCICE 5 : Rectangle
Correction
Soit L la longueur du rectangle
Aire = 3L, donc 12 ≤ 3L ≤ 24
4 ≤ L ≤ 8
Réponse : La longueur est comprise entre 4 cm et 8 cm
EXERCICE 6 : Cycliste
Correction
Soit t le temps en heures
Vitesse = 60/t, donc 15 ≤ 60/t ≤ 25
15t ≤ 60 ≤ 25t → 60/25 ≤ t ≤ 60/15 → 2.4 ≤ t ≤ 4
Réponse : Le temps est compris entre 2.4h (2h24min) et 4h
Résumé
Points clés
RÈGLES DE BASE
Symboles à retenir
- Point plein (•) : ≤ ou ≥ (borne incluse)
- Point vide (○) : < ou > (borne exclue)
- Segment : [a ; b] - intervalle fermé
- Intervalle ouvert : ]a ; b[ - bornes exclues
Méthode de représentation
- Résoudre l'inéquation
- Identifier les bornes et leur type
- Placer les points sur la droite graduée
- Tracer l'intervalle correspondant
- Vérifier la représentation
Conseils pratiques
- Faire attention au sens de l'inégalité
- Ne pas oublier de vérifier la solution
- Représenter clairement l'intervalle
- Interpréter le résultat dans le contexte du problème
La représentation visuelle aide à comprendre et à vérifier les solutions !
Conclusion
Félicitations !
FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DE LA REPRÉSENTATION
Vous savez maintenant représenter des solutions sur la droite graduée !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences
Compris
Retenu
Appliqué