Événements Indépendants | Enseignement Scientifique 1ère

Le lancer de deux dés successifs est un exemple d'événements indépendants. Le résultat du premier lancer n'influence pas le résultat du second. Si A est "obtenir 6 au premier lancer" et B est "obtenir 3 au second lancer", alors A et B sont indépendants.

Le lancer de deux pièces successifs est un autre exemple. Le résultat du premier lancer (pile ou face) n'influence pas le résultat du second lancer. Chaque lancer a une probabilité de 1/2 pour chaque résultat.

Le tirage de deux cartes avec remise dans un jeu de 52 cartes est un exemple d'événements indépendants. Après le premier tirage, la carte est remise dans le paquet, donc la composition du paquet reste inchangée pour le second tirage.

Le tirage de deux cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes est un exemple d'événements dépendants. Après le premier tirage, la composition du paquet change, donc la probabilité du second tirage dépend du premier tirage.

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire deux boules sans remise. La probabilité de tirer une boule bleue au second tirage dépend du résultat du premier tirage.

La probabilité qu'il pleuve demain dépend de la météo d'aujourd'hui. Si aujourd'hui il fait nuageux, la probabilité de pluie demain est plus élevée que si aujourd'hui il fait ensoleillé.

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

Si cette égalité est vraie, les événements sont indépendants. Sinon, ils sont dépendants.

Si P(B) ≠ 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si :

Cela signifie que la probabilité conditionnelle de A sachant B est égale à la probabilité de A.

Si A et B sont des événements indépendants, alors :

On lance un dé équilibré deux fois. Soit A l'événement "obtenir 6 au premier lancer" et B l'événement "obtenir 3 au second lancer".

• P(A) = 1/6
• P(B) = 1/6
• P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36

• Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont indépendants
• Si A et B sont indépendants, alors Ā et B sont indépendants
• Si A et B sont indépendants, alors Ā et B̄ sont indépendants

Trois événements A, B et C sont mutuellement indépendants si :

• P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• P(A ∩ C) = P(A) × P(C)
• P(B ∩ C) = P(B) × P(C)
• P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C)

A : "le premier dé montre un nombre pair"

• Résultats favorables : {2, 4, 6}
• Total des résultats possibles : 6

B : "le second dé montre un nombre impair"

• Résultats favorables : {1, 3, 5}
• Total des résultats possibles : 6

A ∩ B : "le premier dé est pair et le second est impair"

• Résultats favorables : (2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)
• Total des résultats possibles : 36

Est-ce que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ?

• P(A) × P(B) = 1/2 × 1/2 = 1/4
• P(A ∩ B) = 1/4

Donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇒ A et B sont indépendants.

En génétique, les événements correspondant à l'héritage de gènes situés sur des chromosomes différents sont souvent considérés comme indépendants. Cela permet de calculer les probabilités de combinaisons génétiques.

En physique quantique, certains événements peuvent être traités comme indépendants, bien que ce domaine présente des particularités qui sortent du cadre classique.

Les événements indépendants sont utilisés pour modéliser des phénomènes biologiques où les causes ne s'influencent pas mutuellement.

• Supposer l'indépendance sans justification
• Confondre événements incompatibles et événements indépendants
• Ne pas vérifier la formule de multiplication
• Appliquer la formule sans vérifier les conditions

• Toujours vérifier que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Identifier clairement les événements
• Considérer le contexte de l'expérience
• Relire la formulation du problème

A : "obtenir 1 au premier lancer"

• Résultats favorables : {1}
• Total des résultats possibles : 6

B : "obtenir 1 au second lancer"

• Résultats favorables : {1}
• Total des résultats possibles : 6

A ∩ B : "obtenir 1 au premier lancer ET 1 au second lancer"

• Résultat favorable : (1,1)
• Total des résultats possibles : 36

Est-ce que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ?

• P(A) × P(B) = 1/6 × 1/6 = 1/36
• P(A ∩ B) = 1/36

Donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇒ A et B sont indépendants.

A : "la première boule est rouge"

• Boules rouges : 3
• Total des boules : 5

B : "la deuxième boule est bleue"

Il faut considérer les deux cas possibles pour la première boule :

• Si la première boule est rouge : P(B|A) = 2/4 = 1/2
• Si la première boule est bleue : P(B|Ā) = 1/4

Donc : P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|Ā) × P(Ā) = 1/2 × 3/5 + 1/4 × 2/5 = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5

A ∩ B : "la première boule est rouge ET la deuxième est bleue"

• Nombre de façons de tirer une rouge puis une bleue : 3 × 2 = 6
• Nombre total de façons de tirer deux boules : 5 × 4 = 20

Est-ce que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ?

• P(A) × P(B) = 3/5 × 2/5 = 6/25
• P(A ∩ B) = 3/10

Or 6/25 ≠ 3/10 (6/25 = 12/50, 3/10 = 15/50) ⇒ A et B ne sont pas indépendants.

• Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Les événements indépendants n'affectent pas la probabilité l'un de l'autre
• Les événements dépendants influencent mutuellement leurs probabilités

• Vérifier que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Si P(B) ≠ 0, vérifier que P(A|B) = P(A)

• Lancers successifs de dés ou de pièces
• Tirages avec remise
• Tirages sans remise sont dépendants