Sphéricité et ellipsoïde terrestre

La Terre est approximativement sphérique, mais ce n'est pas une sphère parfaite.

Elle est légèrement aplatie aux pôles et renflée à l'équateur.

Ce phénomène est dû à la rotation de la Terre sur elle-même.

• 1 Sphère : modèle simplifié avec rayon constant
• 2 Ellipsoïde : sphère aplatie aux pôles (modèle plus précis)
• 3 Géoïde : surface équipotentielle du champ de gravité
• 4 Topographie réelle : surface avec reliefs

• Rayon équatorial : R_eq = 6 378 137 m
• Rayon polaire : R_pol = 6 356 752 m
• Différence : 21 385 m
• Flattening : f = (R_eq - R_pol) / R_eq = 1/298,257

Le modèle sphérique est une approximation utile pour :

• Calculs de distances grossières
• Calculs de surface
• Calculs de volume
• Applications cartographiques simples

Il simplifie les calculs en négligeant l'aplatissement aux pôles.

Le rayon moyen de la Terre est :

Ce rayon est utilisé dans de nombreux calculs scientifiques.

Il représente une moyenne pondérée entre les rayons équatorial et polaire.

• Circonférence : C = 2πR_moyen ≈ 40 075 km
• Surface : S = 4πR_moyen² ≈ 510 millions km²
• Volume : V = (4/3)πR_moyen³ ≈ 1 083 milliards km³

Le modèle sphérique a une erreur relative de l'ordre de 0,3% pour les calculs de distances.

Pour les calculs de précision, il faut utiliser un modèle ellipsoïdal.

Le modèle sphérique est suffisant pour les applications éducatives et générales.

Un ellipsoïde de révolution est une surface obtenue par rotation d'une ellipse autour de son axe.

La Terre est modélisée comme un ellipsoïde aplati aux pôles.

Il a un axe de symétrie correspondant à l'axe de rotation terrestre.

• Grand axe (a) : rayon équatorial = 6 378 137 m
• Petit axe (b) : rayon polaire = 6 356 752 m
• Aplatissement (f) : f = (a-b)/a = 1/298,257
• Eccentricité (e) : e² = (a²-b²)/a² = 0,006694

La force centrifuge due à la rotation terrestre est maximale à l'équateur.

Elle pousse la matière vers l'extérieur, créant un renflement équatorial.

La force de gravité est plus forte aux pôles, attirant la matière vers le centre.

Ce phénomène crée une différence de 21 385 m entre les rayons.

Pour un ellipsoïde :

Plusieurs modèles ellipsoïdaux sont utilisés :

• WGS84 (World Geodetic System 1984) : utilisé par GPS
• GRS80 (Geodetic Reference System 1980) : modèle international
• Clarke 1880 : ancien modèle français

• Cartographie générale : sphère suffisante (erreur < 0,5%)
• Navigation maritime/aérienne : ellipsoïde préférable (erreur < 0,1%)
• Systèmes GPS : ellipsoïde WGS84 (erreur < 1 mètre)
• Mesures géodésiques : ellipsoïde (précision millimétrique)

Sur une sphère, la distance est calculée avec la formule de la grande cercle :

Sur un ellipsoïde, les calculs sont plus complexes (formules de Vincenty).

• Éducation : sphère pour les explications de base
• Cartographie : ellipsoïde pour les projections précises
• Navigation : ellipsoïde pour les positions précises
• Télémétrie : ellipsoïde pour les mesures précises

Entre Paris et New York (environ 5 839 km) :

• Distance sphérique : ~5 839 km
• Distance ellipsoïdale : ~5 840 km
• Différence : ~1 km

La différence est négligeable pour des usages courants mais importante pour la navigation précise.

• Ératosthène (IIIe siècle av. J.-C.) : mesure du rayon terrestre avec des ombres
• Newton (XVIIe siècle) : prédiction de l'aplatissement aux pôles
• Maupertuis (XVIIIe siècle) : confirmation de l'ellipsoïde par des mesures de latitude

• Satellites géodésiques : mesures précises des distances
• GPS : positionnement avec précision millimétrique
• Laser télémétrique : mesures de distances très précises
• Interférométrie radar : mesure des déformations de la surface

• Rayon équatorial : connu à 0,01 m près
• Rayon polaire : connu à 0,01 m près
• Flattening : connu à 10⁻⁷ près
• Modèle WGS84 : précision de 1-2 mètres globalement

La précision des mesures de la forme terrestre a évolué exponentiellement :

• Antiquité : précision de ~100 km
• Moyen Âge : précision de ~10 km
• XVIIIe siècle : précision de ~1 km
• XXe siècle : précision de ~10 m
• XXIe siècle : précision de ~1 m

• Rayon équatorial : a = 6 378 137 m
• Rayon polaire : b = 6 356 752 m

f = (a - b) / a

f = (6 378 137 - 6 356 752) / 6 378 137

f = 21 385 / 6 378 137 = 0,003353

f (%) = f × 100 = 0,003353 × 100 = 0,3353%

Soit environ 0,34% d'aplatissement.

1/f = 1 / 0,003353 = 298,257

Cela correspond à l'expression 1/298,257 utilisée dans les modèles géodésiques.

e² = (a² - b²) / a²

a² = (6 378 137)² = 4,068×10¹³

b² = (6 356 752)² = 4,041×10¹³

e² = (4,068×10¹³ - 4,041×10¹³) / 4,068×10¹³ = 0,006694

e = √0,006694 = 0,0818

• Rayon sphérique : R = 6 371 009 m
• Grand axe ellipsoïde : a = 6 378 137 m
• Petit axe ellipsoïde : b = 6 356 752 m

V_sphere = (4/3) × π × R³

V_sphere = (4/3) × π × (6 371 009)³

V_sphere = (4/3) × π × 2,583×10²⁰ = 1,083×10²¹ m³

V_ellipsoid = (4/3) × π × a² × b

V_ellipsoid = (4/3) × π × (6 378 137)² × 6 356 752

V_ellipsoid = (4/3) × π × 4,068×10¹³ × 6 356 752 = 1,083×10²¹ m³

ΔV = V_sphere - V_ellipsoid = 1,083×10²¹ - 1,083×10²¹ = 0 m³ (approximativement)

Le modèle sphérique donne un volume très proche de l'ellipsoïde.

Erreur relative = |ΔV| / V_ellipsoid × 100

Erreur = 0 / (1,083×10²¹) × 100 = 0%

Le modèle sphérique est très précis pour le volume (moins de 0,1% d'erreur).

Le système GPS utilise le modèle ellipsoïdal WGS84.

Les satellites calculent les distances en tenant compte de la forme ellipsoïdale.

La précision dépend de la connaissance exacte de la forme terrestre.

Les projections cartographiques dépendent du modèle de forme terrestre utilisé.

Les projections coniques sont adaptées aux pays à latitude moyenne.

Les projections cylindriques sont adaptées aux cartes mondiales.

La navigation maritime et aérienne utilise des modèles ellipsoïdaux pour des calculs précis.

Les distances orthodromiques (grand cercle) sont calculées avec des formules ellipsoïdales.

Les systèmes de navigation inertielle intègrent la forme de la Terre.

• Télédétection spatiale
• Calculs de gravité
• Mesures géodésiques
• Études sismiques
• Calculs orbitaux

• La Terre est un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles
• Rayon équatorial : 6 378 137 m
• Rayon polaire : 6 356 752 m
• Aplatissement : 1/298,257

• Sphère : approximation simple pour les calculs grossiers
• Ellipsoïde : modèle plus précis pour les applications géodésiques
• WGS84 : modèle international pour le GPS
• Géoïde : modèle le plus proche de la forme réelle

• Navigation (maritime, aérienne, GPS)
• Cartographie
• Télédétection
• Mesures géodésiques
• Études géophysiques