Si a est multiple de b, et b est multiple de c, alors a est multiple de c.

Exemple : 12 est multiple de 6, 6 est multiple de 3, donc 12 est multiple de 3.

Si a et b sont des multiples de c, alors a + b est aussi un multiple de c.

Exemple : 12 et 18 sont multiples de 3, donc 12 + 18 = 30 est multiple de 3.

Si a est multiple de b, alors a × k est multiple de b pour tout entier k.

Exemple : 12 est multiple de 3, donc 12 × 5 = 60 est multiple de 3.

L'ensemble des multiples d'un nombre n est noté nℤ ou M(n).

Par exemple, les multiples de 5 : M(5) = {..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...}

On obtient ces multiples en multipliant 4 par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

On obtient ces multiples en multipliant 6 par 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

Les multiples communs à 4 et 6 sont : 0, 12, 24, 36, 48, 60...

Le plus petit de ces multiples (autre que 0) est 12, c'est le PPCM(4, 6).

1. 1 Écrire les premiers multiples de chaque nombre
2. 2 Identifier les multiples communs
3. 3 Choisir le plus petit multiple commun (autre que 0)

Exemple : Calculons PPCM(8, 12)

• Multiples de 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48...
• Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48...
• Le plus petit multiple commun est 24, donc PPCM(8, 12) = 24

Pour calculer PPCM(a, b) :

1. 1 Décomposer a et b en facteurs premiers
2. 2 Prendre tous les facteurs premiers avec leur plus grand exposant
3. 3 Multiplier ces facteurs

Exemple : PPCM(12, 18)

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• PPCM(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

PPCM(a, b) = PPCM(b, a)

Le PPCM est symétrique par rapport aux deux nombres.

Si a est multiple de b, alors PPCM(a, b) = a

Exemple : PPCM(12, 4) = 12 car 12 est multiple de 4

Pour deux entiers a et b strictement positifs :

Donc : \( \text{PPCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{PGCD}(a, b)} \)

Exemple : PPCM(12, 18) = (12 × 18) / PGCD(12, 18) = 216 / 6 = 36

Si a et b sont premiers entre eux (PGCD(a, b) = 1), alors :

Exemple : PPCM(7, 11) = 7 × 11 = 77 (car 7 et 11 sont premiers entre eux)

• 15 = 3 × 5
• 25 = 5²
• PPCM(15, 25) = 3 × 5² = 3 × 25 = 75

Vérification : 75 = 15 × 5 et 75 = 25 × 3

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• 24 = 2³ × 3
• PPCM(12, 18, 24) = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

Vérification : 72 = 12 × 6 = 18 × 4 = 24 × 3

7 et 13 sont deux nombres premiers, donc premiers entre eux.

91 est le plus petit multiple commun à 7 et 13.

Pour additionner \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \), on cherche le PPCM(4, 6) = 12.

Deux événements se produisent respectivement tous les 4 jours et tous les 6 jours. Ils coïncident tous les PPCM(4, 6) = 12 jours.

Exemple : Deux bus partent respectivement toutes les 15 minutes et toutes les 20 minutes. Ils partent ensemble toutes les PPCM(15, 20) = 60 minutes.

• Gestion des cycles dans les algorithmes
• Synchronisation des processus
• Calculs en arithmétique modulaire
• Algorithmes de cryptographie

1. PPCM(8, 12) : 8 = 2³, 12 = 2² × 3 → PPCM = 2³ × 3 = 24
2. PPCM(15, 25) : 15 = 3 × 5, 25 = 5² → PPCM = 3 × 5² = 75
3. PPCM(14, 21) : 14 = 2 × 7, 21 = 3 × 7 → PPCM = 2 × 3 × 7 = 42
4. PPCM(9, 16) : 9 = 3², 16 = 2⁴ → PPCM = 3² × 2⁴ = 9 × 16 = 144

On cherche le PPCM(12, 18) :

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• PPCM(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Les deux événements auront lieu simultanément dans 36 jours.

1. 1 Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
2. 2 Identifier tous les facteurs premiers présents
3. 3 Prendre chaque facteur avec son plus grand exposant
4. 4 Multiplier ces facteurs pour obtenir le PPCM

• Si un nombre est multiple de l'autre : PPCM = le plus grand nombre
• Si les nombres sont premiers entre eux : PPCM = produit des nombres
• Utiliser la relation PGCD × PPCM = produit si on connaît le PGCD
• Vérifier le résultat en s'assurant que le PPCM est divisible par chaque nombre

• 1 Confondre PPCM et PGCD : le PPCM est le plus petit multiple commun, pas le plus grand diviseur commun
• 2 Ne pas prendre les exposants les plus grands dans la décomposition en facteurs premiers
• 3 Oublier que le PPCM doit être strictement positif (différent de 0)
• 4 Ne pas vérifier que le résultat est bien un multiple des deux nombres

• PPCM(6, 12) ≠ 6 mais 12 (car 12 est multiple de 6)
• PPCM(7, 14) = 14 (le plus grand nombre car l'un est multiple de l'autre)
• PPCM(5, 7) = 35 (produit car 5 et 7 sont premiers entre eux)

a est multiple de b si il existe un entier k tel que a = b × k

Le PPCM de deux nombres est le plus petit entier strictement positif qui est multiple de ces deux nombres

• Liste des multiples (pour petits nombres)
• Décomposition en facteurs premiers (méthode générale)
• Utilisation de la relation PGCD × PPCM = produit

• PPCM(a, b) × PGCD(a, b) = a × b
• PPCM(a, ka) = ka (si k est entier positif)
• PPCM(a, b) = a × b si a et b sont premiers entre eux